Каковы средние значения фазовой и групповой скорости света для интервала длин волн от 546 до 589 нм, если коэффициент

Veselyy_Smeh

23

Для решения этой задачи, нам потребуется знание формул и связей между фазовой и групповой скоростью света, а также формулы для расчета коэффициента преломления воды.

Фазовая скорость света, \(v\), определяется как отношение длины волны, \(\lambda\), к периоду колебаний, \(T\), то есть \(v = \frac{\lambda}{T}\).
Групповая скорость света, \(v_g\), определяется как скорость перемещения группы волн, состоящей из когерентных волн, и она связана с фазовой скоростью и дисперсией по формуле \(v_g = v - \lambda \frac{dv}{d\lambda}\).

Для определения коэффициента преломления воды, нам потребуется знание формулы для расчета коэффициента преломления, \(n\), которая записывается как \(n = \frac{c}{v}\), где \(c\) - скорость света в вакууме.

Итак, начнем, используя формулы и данные из условия задачи:

Длинa волны \(\lambda\) изменяется от 546 до 589 нм.
Величина коэффициента преломления \(n\) меняется от 1,33447 до 1,33300.

Сначала найдем фазовую скорость света, используя формулу \(v = \frac{\lambda}{T}\).
Для этого нам понадобится знать период колебаний \(T\).

Однако, без дополнительной информации о частоте света, мы не можем найти период напрямую.
Вместо этого, мы можем выразить длину волны через фазовую скорость: \(\lambda = vT\).

Теперь мы можем приступить к вычислениям:

Для начала возьмем минимальное значение длины волны \(\lambda_1\), при котором коэффициент преломления \(n_1\) равен 1,33447.
Известно, что \(n_1 = \frac{c}{v_1}\), где \(v_1\) - фазовая скорость света при \(\lambda_1\).

Теперь запишем это в виде уравнения и найдем \(v_1\):

\[1,33447 = \frac{c}{v_1}\]

Из этого уравнения мы можем найти \(v_1\):

\[v_1 = \frac{c}{1,33447}\]

Аналогичным образом, мы найдем максимальное значение фазовой скорости света \(v_2\) на основе максимального значения коэффициента преломления \(n_2 = 1,33300\):

\[v_2 = \frac{c}{1,33300}\]

Теперь, чтобы определить среднюю фазовую скорость света \(\bar{v}\) для интервала длин волн, мы найдем среднее значение фазовых скоростей \(v_1\) и \(v_2\):

\[\bar{v} = \frac{v_1 + v_2}{2}\]

Теперь, чтобы найти групповую скорость света \(v_g\) для интервала длин волн, мы воспользуемся формулой:

\[v_g = \bar{v} - \lambda \frac{d\bar{v}}{d\lambda}\]

Где \(\frac{d\bar{v}}{d\lambda}\) - производная средней фазовой скорости по длине волны.

Окончательно, мы найдем среднюю групповую скорость света \(\bar{v_g}\) для интервала длин волн.

Давайте произведем необходимые вычисления и найдем ответ с обоснованием:

1. Найдем фазовые скорости \(v_1\) и \(v_2\):

\[v_1 = \frac{c}{1,33447}\]
\[v_2 = \frac{c}{1,33300}\]

2. Вычислим среднюю фазовую скорость \(\bar{v}\):

\[\bar{v} = \frac{v_1 + v_2}{2}\]

3. Теперь произведем необходимые вычисления для групповой скорости:

\[\lambda_1 = 546 \, \text{нм}\]
\[\lambda_2 = 589 \, \text{нм}\]

\[\frac{d\bar{v}}{d\lambda} = \frac{\bar{v}(\lambda_2) - \bar{v}(\lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}\]

4. Запишем формулу для групповой скорости \(v_g\):

\[v_g = \bar{v} - \lambda \frac{d\bar{v}}{d\lambda}\]

5. Вычислим среднюю групповую скорость света \(\bar{v_g}\) для интервала длин волн:

\[\bar{v_g} = v_g(\lambda_1) = v_g(\lambda_2)\]

Вычислив значения и выполним необходимые арифметические операции, чтобы найти окончательный результат.