Каковы третий член и разность арифметической прогрессии, если сумма второго и четвертого членов равна 46, а сумма

Снежок

22

В данной задаче нам даны суммы некоторых членов арифметической прогрессии. Для того чтобы найти третий член и разность прогрессии, нам потребуется вспомнить основные свойства арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления одного и того же числа, называемого разностью прогрессии, к предыдущему члену.

Обозначим третий член прогрессии через \(a_3\) и разность прогрессии через \(d\). Тогда второй член будет равен \(a_2 = a_3 - d\), а четвертый член - \(a_4 = a_3 + d\).

Согласно условию задачи, сумма второго и четвертого членов равна 46, то есть \(a_2 + a_4 = 46\). Подставляя значения в уравнение, получаем \(a_3 - d + a_3 + d = 46\).

Суммируя слагаемые, получаем \(2a_3 = 46\), или же \(a_3 = \frac{46}{2} = 23\). Таким образом, третий член прогрессии равен 23.

Теперь найдем разность прогрессии. Для этого воспользуемся вторым условием задачи: сумма третьего и седьмого членов равна \(a_3 + a_7\) = x.

Подставим значения: \(23 + a_7 = x\).

Из этого уравнения нам неизвестна сумма \(x\), но разность \(a_7 - a_3\) соответствует шести разностям \(d\), то есть \(d + d + d + d + d + d = 6d\).

Итак, \(a_7 - a_3 = 6d\).

Подставляем значения: \(a_7 - 23 = 6d\).

Теперь нам необходимо отыскать значение разности \(d\). Чтобы это сделать, мы можем воспользоваться уравнением \(a_2 + a_4 = 46\) и подставить в него значения суммы первого и третьего членов \((a_2 + a_2+d = 46)\). Это даст нам уравнение \(2a_2 + d = 46\), или же \(a_2 = \frac{46 - d}{2}\).

Теперь подставляем в него значение \(a_2\), полученное ранее: \(\frac{46 - d}{2} = a_3 - d\).

Мы уже знаем значение \(a_3\), поэтому подставим его: \(\frac{46 - d}{2} = 23 - d\).

Решаем это уравнение относительно \(d\): умножаем обе части на 2, получаем \(46 - d = 46 - 2d\).

Теперь избавляемся от переменной: \(d = 0\).

Таким образом, мы получили разность арифметической прогрессии равную 0.

Итак, ответ на задачу:

Третий член прогрессии \(a_3 = 23\).

Разность арифметической прогрессии \(d = 0\).