Каковы углы треугольника, если в треугольнике КРЕ сторона РЕ равна 6, на стороне КЕ отмечена точка F так, что КФ

Котэ

45

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему косинусов. Давайте разберемся пошагово:

1. Обозначим углы треугольника КРЕ следующим образом: угол К - α, угол Р - β, угол Е - γ.

2. Теорема косинусов утверждает следующее: в треугольнике сторона, возле которой известны две другие стороны и угол между ними, может быть найдена с помощью следующей формулы:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\]
где c - сторона, возле которой известны две другие стороны a и b и угол между ними γ.

3. В данной задаче у нас известна сторона РЕ, которая равна 6, и сторона КФ (равная РФ), которая равна 3√3. По условию задачи, сторона РФ также равна 3√3.

4. Мы также знаем, что отрезок РФ делит сторону РЕ пополам, поэтому сторона РК равна 6/2 = 3.

5. Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла РКЕ. Записываем уравнение:
\[6^2 = (3√3)^2 + 3^2 - 2 \cdot (3√3) \cdot 3 \cdot \cos(\angle КРЕ)\]

6. Решаем это уравнение, чтобы найти угол КРЕ. Вычисляем в правой части уравнения:
\[36 = 27 + 9 - 18√3 \cdot \cos(\angle КРЕ)\]

7. Приводим подобные члены и решаем уравнение:
\[0 = 54 - 18√3 \cdot \cos(\angle КРЕ)\]
\[18√3 \cdot \cos(\angle КРЕ) = 54\]
\[\cos(\angle КРЕ) = \frac{54}{18√3} = \frac{3}{√3} = √3\]

8. Находим значение угла КРЕ, находя арккосинус (√3):
\[\angle КРЕ = \arccos(√3) \approx 30°\]

9. Поскольку отрезок ФЕ - это диаметр окружности, вписанной в треугольник КРЕ, то угол ФКЕ равен 90°. Так как угол КРЕ равен 30°, то угол КФЕ равен:
\[180° - 90° - 30° = 60°\]

10. Осталось найти угол РЕК. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:
\[\angle РЕК = 180° - \angle КРЕ - \angle КФЕ = 180° - 30° - 60° = 90°\]

Таким образом, угол КРЕ равен 30°, угол КФЕ равен 60° и угол РЕК равен 90°.