Каковы углы треугольника, если в треугольнике КРЕ сторона РЕ равна 6, на стороне КЕ отмечена точка F так, что КФ

Котэ

45

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему косинусов. Давайте разберемся пошагово:

1. Обозначим углы треугольника КРЕ следующим образом: угол К - α, угол Р - β, угол Е - γ.

2. Теорема косинусов утверждает следующее: в треугольнике сторона, возле которой известны две другие стороны и угол между ними, может быть найдена с помощью следующей формулы:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$$
где c - сторона, возле которой известны две другие стороны a и b и угол между ними γ.

3. В данной задаче у нас известна сторона РЕ, которая равна 6, и сторона КФ (равная РФ), которая равна 3√3. По условию задачи, сторона РФ также равна 3√3.

4. Мы также знаем, что отрезок РФ делит сторону РЕ пополам, поэтому сторона РК равна 6/2 = 3.

5. Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла РКЕ. Записываем уравнение:
$$6^2=(3\surd 3{)}^2+3^2-2\cdot (3\surd 3)\cdot 3\cdot \cos (\mathrm{\angle }КРЕ)$$

6. Решаем это уравнение, чтобы найти угол КРЕ. Вычисляем в правой части уравнения:
$$36=27+9-18\surd 3\cdot \cos (\mathrm{\angle }КРЕ)$$

7. Приводим подобные члены и решаем уравнение:
$$0=54-18\surd 3\cdot \cos (\mathrm{\angle }КРЕ)$$
$$18\surd 3\cdot \cos (\mathrm{\angle }КРЕ)=54$$
$$\cos (\mathrm{\angle }КРЕ)=\frac{54}{18\surd 3}=\frac{3}{\surd 3}=\surd 3$$

8. Находим значение угла КРЕ, находя арккосинус (√3):
$$\mathrm{\angle }КРЕ=\arccos (\surd 3)\approx 30°$$

9. Поскольку отрезок ФЕ - это диаметр окружности, вписанной в треугольник КРЕ, то угол ФКЕ равен 90°. Так как угол КРЕ равен 30°, то угол КФЕ равен:
$$180°-90°-30°=60°$$

10. Осталось найти угол РЕК. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:
$$\mathrm{\angle }РЕК=180°-\mathrm{\angle }КРЕ-\mathrm{\angle }КФЕ=180°-30°-60°=90°$$

Таким образом, угол КРЕ равен 30°, угол КФЕ равен 60° и угол РЕК равен 90°.