Каковы уравнения сторон треугольника с вершинами А(-2, 0); В(2, 4) и С(4, 0)? Какое уравнение медианы AE и высоты

Antonovich

34

Чтобы найти уравнения сторон треугольника, нам сначала необходимо определить длины этих сторон. Затем мы сможем использовать эти длины, чтобы составить уравнения.

Для вычисления длин сторон треугольника используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула для нахождения расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит следующим образом:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

В нашем случае:
Длина стороны AB:
\[d_{AB} = \sqrt{{(2 - (-2))^2 + (4 - 0)^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{4^2 + 4^2}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{16 + 16}}\]
\[d_{AB} = \sqrt{{32}}\]
\[d_{AB} = 4\sqrt{{2}}\]

Длина стороны BC:
\[d_{BC} = \sqrt{{(4 - 2)^2 + (0 - 4)^2}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{2^2 + (-4)^2}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{4 + 16}}\]
\[d_{BC} = \sqrt{{20}}\]
\[d_{BC} = 2\sqrt{{5}}\]

Длина стороны AC:
\[d_{AC} = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (0 - 0)^2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{6^2 + 0^2}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{36 + 0}}\]
\[d_{AC} = \sqrt{{36}}\]
\[d_{AC} = 6\]

Теперь можем перейти к составлению уравнений.

Уравнение стороны AB:
С учетом координат вершин \(A(-2, 0)\) и \(B(2, 4)\), мы можем использовать уравнение прямой для определения уравнения стороны AB. Уравнение прямой задается в виде \(y = mx + b\), где \(m\) - это наклон прямой, а \(b\) - это смещение на оси \(y\).

Найдем наклон прямой AB:
\[m_{AB} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[m_{AB} = \frac{{4 - 0}}{{2 - (-2)}}\]
\[m_{AB} = \frac{{4}}{{4}}\]
\[m_{AB} = 1\]

Теперь найдем смещение \(b_{AB}\) путем подстановки координат одной из вершин:
\[0 = m_{AB} \cdot (-2) + b_{AB}\]
\[0 = -2 + b_{AB}\]
\[b_{AB} = 2\]

Таким образом, уравнение стороны AB будет иметь вид:
\[y = x + 2\]

Аналогичным образом, найдем уравнения сторон BC и AC:

Уравнение стороны BC:
Наклон \(m_{BC}\):
\[m_{BC} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[m_{BC} = \frac{{0 - 4}}{{4 - 2}}\]
\[m_{BC} = \frac{{-4}}{{2}}\]
\[m_{BC} = -2\]
Смещение \(b_{BC}\) (подставляем координаты вершины B):
\[4 = -2 \cdot 2 + b_{BC}\]
\[4 = -4 + b_{BC}\]
\[b_{BC} = 8\]
Уравнение стороны BC:
\[y = -2x + 8\]

Уравнение стороны AC:
Наклон \(m_{AC}\):
\[m_{AC} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[m_{AC} = \frac{{0 - 0}}{{4 - (-2)}}\]
\[m_{AC} = \frac{{0}}{{6}}\]
\[m_{AC} = 0\]
Смещение \(b_{AC}\) (подставляем координаты вершины C):
\[0 = 0 \cdot 4 + b_{AC}\]
\[0 = b_{AC}\]
Уравнение стороны AC:
\[y = 0x + 0\]
\[y = 0\]

Таким образом, уравнение стороны AC будет иметь вид:
\[y = 0\]

Теперь рассмотрим медиану AE и высоту AD.

Медиана AE:
Медиана - это линия, проходящая через вершину треугольника и середину противоположной стороны. В данном случае, медиана AE будет проходить через вершину A и середину стороны BC.

Найдем координаты середины стороны BC:
\[x_{BC} = \frac{{x_2 + x_3}}{2}\]
\[x_{BC} = \frac{{4 + 4}}{2}\]
\[x_{BC} = 4\]

\[y_{BC} = \frac{{y_2 + y_3}}{2}\]
\[y_{BC} = \frac{{0 + 0}}{2}\]
\[y_{BC} = 0\]

Теперь, с использованием координат вершины A и середины стороны BC, мы можем вычислить наклон и смещение уравнения медианы AE.

Наклон медианы:
\[m_{AE} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[m_{AE} = \frac{{0 - 0}}{{4 - (-2)}}\]
\[m_{AE} = \frac{{0}}{{6}}\]
\[m_{AE} = 0\]

Так как медиана проходит через точку A(-2, 0), ее уравнение будет иметь вид:
\[y = 0x + b_{AE}\]
\[0 = -2 \cdot 0 + b_{AE}\]
\[b_{AE} = 0\]

Таким образом, уравнение медианы AE будет иметь вид:
\[y = 0\]

Высота AD:
Высота треугольника - это перпендикулярная линия, опущенная из одной вершины на противоположную сторону треугольника.

Для определения уравнения высоты AD, мы можем использовать уравнение прямой и наклон противоположной стороны BC.

Наклон высоты:
\[m_{AD} = -\frac{1}{{m_{BC}}}\]
\[m_{AD} = -\frac{1}{{-2}}\]
\[m_{AD} = \frac{1}{2}\]

Теперь, зная координаты вершины A(-2, 0) и наклон высоты, мы можем найти смещение \(b_{AD}\):
\[0 = \frac{1}{2} \cdot (-2) + b_{AD}\]
\[0 = -1 + b_{AD}\]
\[b_{AD} = 1\]

Таким образом, уравнение высоты AD будет иметь вид:
\[y = \frac{1}{2}x + 1\]

Теперь найдем длину медианы AE с использованием расстояния между точками формулы:
\[d_{AE} = \sqrt{{(-2 - 4)^2 + (0 - 0)^2}}\]
\[d_{AE} = \sqrt{{(-6)^2 + 0^2}}\]
\[d_{AE} = \sqrt{{36 + 0}}\]
\[d_{AE} = \sqrt{{36}}\]
\[d_{AE} = 6\]

Таким образом, длина медианы AE равна 6.

Для треугольника со сторонами AB, BC и AC, уравнения сторон будут иметь следующий вид:
AB: \(y = x + 2\),
BC: \(y = -2x + 8\),
AC: \(y = 0\)

Уравнение медианы AE: \(y = 0\)

Уравнение высоты AD: \(y = \frac{1}{2}x + 1\)

Длина медианы AE: 6

Надеюсь, эта подробная информация поможет вам лучше понять решение задачи и получить ясные ответы на ваши вопросы. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!