Каковы вероятности попадания в цель при первом, втором и третьем выстрелах из орудия? Как распределена случайная

  • 21
Каковы вероятности попадания в цель при первом, втором и третьем выстрелах из орудия? Как распределена случайная величина Х, которая представляет число попаданий в цель? Каково математическое ожидание?
Аида
59
Для решения этой задачи нам необходимо знать вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия. Пусть данная вероятность равна p.

1. Вероятность попадания при первом выстреле:
Вероятность попадания в цель при первом выстреле из орудия равна p, так как мы рассматриваем только один выстрел.

2. Вероятность попадания при втором выстреле:
Если мы не попали в цель при первом выстреле, то вероятность попасть в цель при втором выстреле все равно составляет p, так как каждый выстрел рассматривается отдельно и не зависит от предыдущих попаданий или промахов. Вероятность не попасть в цель при первом выстреле равна 1p, поэтому вероятность попадания в цель при втором выстреле равна произведению вероятности промаха при первом выстреле и вероятности попадания при втором выстреле:
P(2 попадания)=(1p)p

3. Вероятность попадания при третьем выстреле:
Аналогично, вероятность попадания в цель при третьем выстреле составляет p, так как каждый выстрел рассматривается независимо. Вероятности промаха на первом и втором выстрелах равны 1p, поэтому вероятность попадания при третьем выстреле равна произведению вероятностей промахов на первом и втором выстрелах и вероятности попадания при третьем выстреле:
P(3 попадания)=(1p)2p

Теперь рассмотрим случайную величину X, представляющую число попаданий в цель. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. Вероятности каждого из этих значений вычисляются следующим образом:

P(X=0)=P(непопадание×непопадание×непопадание)=(1p)3
P(X=1)=P(попадание×непопадание×непопадание)+P(непопадание×попадание×непопадание)+P(непопадание×непопадание×попадание)=3p(1p)2
P(X=2)=P(попадание×попадание×непопадание)+P(попадание×непопадание×попадание)+P(непопадание×попадание×попадание)=3p2(1p)
P(X=3)=P(попадание×попадание×попадание)=p3

Математическое ожидание μ случайной величины X вычисляется следующим образом:

μ=E(X)=xiP(X=xi)

где xi - значение случайной величины, а P(X=xi) - вероятность того, что случайная величина принимает значение xi. В данном случае:

μ=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)

Подставим ранее вычисленные значения вероятностей:

μ=0(1p)3+13p(1p)2+23p2(1p)+3p3

Вот ответ на вашу задачу. Надеюсь, он помог вам понять вероятности попадания в цель при разных выстрелах, распределение случайной величины X, а также как вычислить математическое ожидание. Если у вас возникнут еще вопросы, я с радостью на них отвечу!