Каковы вероятности попадания в цель при первом, втором и третьем выстрелах из орудия? Как распределена случайная

Аида

59

Для решения этой задачи нам необходимо знать вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия. Пусть данная вероятность равна \( p \).

1. Вероятность попадания при первом выстреле:
Вероятность попадания в цель при первом выстреле из орудия равна \( p \), так как мы рассматриваем только один выстрел.

2. Вероятность попадания при втором выстреле:
Если мы не попали в цель при первом выстреле, то вероятность попасть в цель при втором выстреле все равно составляет \( p \), так как каждый выстрел рассматривается отдельно и не зависит от предыдущих попаданий или промахов. Вероятность не попасть в цель при первом выстреле равна \( 1 - p \), поэтому вероятность попадания в цель при втором выстреле равна произведению вероятности промаха при первом выстреле и вероятности попадания при втором выстреле:
\[ P(2 \text{ попадания}) = (1 - p) \cdot p \]

3. Вероятность попадания при третьем выстреле:
Аналогично, вероятность попадания в цель при третьем выстреле составляет \( p \), так как каждый выстрел рассматривается независимо. Вероятности промаха на первом и втором выстрелах равны \( 1 - p \), поэтому вероятность попадания при третьем выстреле равна произведению вероятностей промахов на первом и втором выстрелах и вероятности попадания при третьем выстреле:
\[ P(3 \text{ попадания}) = (1 - p)^2 \cdot p \]

Теперь рассмотрим случайную величину \( X \), представляющую число попаданий в цель. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. Вероятности каждого из этих значений вычисляются следующим образом:

\[ P(X = 0) = P(\text{непопадание} \times \text{непопадание} \times \text{непопадание}) = (1 - p)^3 \]
\[ P(X = 1) = P(\text{попадание} \times \text{непопадание} \times \text{непопадание}) + P(\text{непопадание} \times \text{попадание} \times \text{непопадание}) + P(\text{непопадание} \times \text{непопадание} \times \text{попадание}) = 3p(1-p)^2 \]
\[ P(X = 2) = P(\text{попадание} \times \text{попадание} \times \text{непопадание}) + P(\text{попадание} \times \text{непопадание} \times \text{попадание}) + P(\text{непопадание} \times \text{попадание} \times \text{попадание}) = 3p^2(1-p) \]
\[ P(X = 3) = P(\text{попадание} \times \text{попадание} \times \text{попадание}) = p^3 \]

Математическое ожидание \( \mu \) случайной величины \( X \) вычисляется следующим образом:

\[ \mu = E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \]

где \( x_i \) - значение случайной величины, а \( P(X = x_i) \) - вероятность того, что случайная величина принимает значение \( x_i \). В данном случае:

\[ \mu = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) \]

Подставим ранее вычисленные значения вероятностей:

\[ \mu = 0 \cdot (1 - p)^3 + 1 \cdot 3p(1-p)^2 + 2 \cdot 3p^2(1-p) + 3 \cdot p^3 \]

Вот ответ на вашу задачу. Надеюсь, он помог вам понять вероятности попадания в цель при разных выстрелах, распределение случайной величины \( X \), а также как вычислить математическое ожидание. Если у вас возникнут еще вопросы, я с радостью на них отвечу!