Каковы вероятности попадания в цель при первом, втором и третьем выстрелах из орудия? Как распределена случайная

Аида

59

Для решения этой задачи нам необходимо знать вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия. Пусть данная вероятность равна $p$.

1. Вероятность попадания при первом выстреле:
Вероятность попадания в цель при первом выстреле из орудия равна $p$, так как мы рассматриваем только один выстрел.

2. Вероятность попадания при втором выстреле:
Если мы не попали в цель при первом выстреле, то вероятность попасть в цель при втором выстреле все равно составляет $p$, так как каждый выстрел рассматривается отдельно и не зависит от предыдущих попаданий или промахов. Вероятность не попасть в цель при первом выстреле равна $1-p$, поэтому вероятность попадания в цель при втором выстреле равна произведению вероятности промаха при первом выстреле и вероятности попадания при втором выстреле:
$$P(2\text{ попадания})=(1-p)\cdot p$$

3. Вероятность попадания при третьем выстреле:
Аналогично, вероятность попадания в цель при третьем выстреле составляет $p$, так как каждый выстрел рассматривается независимо. Вероятности промаха на первом и втором выстрелах равны $1-p$, поэтому вероятность попадания при третьем выстреле равна произведению вероятностей промахов на первом и втором выстрелах и вероятности попадания при третьем выстреле:
$$P(3\text{ попадания})=(1-p{)}^2\cdot p$$

Теперь рассмотрим случайную величину $X$, представляющую число попаданий в цель. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3. Вероятности каждого из этих значений вычисляются следующим образом:

$$P(X=0)=P(\text{непопадание}\times \text{непопадание}\times \text{непопадание})=(1-p{)}^3$$
$$P(X=1)=P(\text{попадание}\times \text{непопадание}\times \text{непопадание})+P(\text{непопадание}\times \text{попадание}\times \text{непопадание})+P(\text{непопадание}\times \text{непопадание}\times \text{попадание})=3p(1-p{)}^2$$
$$P(X=2)=P(\text{попадание}\times \text{попадание}\times \text{непопадание})+P(\text{попадание}\times \text{непопадание}\times \text{попадание})+P(\text{непопадание}\times \text{попадание}\times \text{попадание})=3p^2(1-p)$$
$$P(X=3)=P(\text{попадание}\times \text{попадание}\times \text{попадание})=p^3$$

Математическое ожидание $\mu$ случайной величины $X$ вычисляется следующим образом:

$$\mu =E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)$$

где $x_i$ - значение случайной величины, а $P(X=x_i)$ - вероятность того, что случайная величина принимает значение $x_i$. В данном случае:

$$\mu =0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)$$

Подставим ранее вычисленные значения вероятностей:

$$\mu =0\cdot (1-p{)}^3+1\cdot 3p(1-p{)}^2+2\cdot 3p^2(1-p)+3\cdot p^3$$

Вот ответ на вашу задачу. Надеюсь, он помог вам понять вероятности попадания в цель при разных выстрелах, распределение случайной величины $X$, а также как вычислить математическое ожидание. Если у вас возникнут еще вопросы, я с радостью на них отвечу!