Каковы вероятности того, что в пути повреждено меньше двух изделий, если завод отправил на базу 1000 изделий

Заяц

9

Для решения данной задачи нам необходимо использовать биномиальное распределение. Вероятность того, что будет повреждено ровно \(k\) изделий из \(n\) отправленных, задается следующей формулой:

\[
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

где \(P(X = k)\) - вероятность того, что повреждено ровно \(k\) изделий, \(n\) - общее количество отправленных изделий, \(p\) - вероятность повреждения изделия в пути, \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\).

В данной задаче нам необходимо найти вероятность того, что будет повреждено меньше двух изделий, то есть \(P(X < 2)\). Чтобы это сделать, мы можем найти вероятности для \(P(X = 0)\) и \(P(X = 1)\), а затем сложить их:

\[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)
\]

Давайте подставим значения в формулу и посчитаем:

Для \(P(X = 0)\):
\(n = 1000\), \(k = 0\), \(p = 0.002\)

\[
P(X = 0) = C_{1000}^0 \cdot 0.002^0 \cdot (1-0.002)^{1000-0}
\]

Для \(P(X = 1)\):
\(n = 1000\), \(k = 1\), \(p = 0.002\)

\[
P(X = 1) = C_{1000}^1 \cdot 0.002^1 \cdot (1-0.002)^{1000-1}
\]

Теперь посчитаем значения:

\[
P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.998)^{1000} \approx 0.1352
\]

\[
P(X = 1) = 1000 \cdot 0.002 \cdot (0.998)^{999} \approx 0.2705
\]

Теперь сложим полученные вероятности:

\[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.1352 + 0.2705 = 0.4057
\]

Таким образом, вероятность того, что в пути повреждено меньше двух изделий, составляет примерно 0.4057 или около 40.57%.