Каковы вероятности выигрыша каждого игрока в игре с бросанием игральной кости, где победителем считается тот, у кого

Радуга_На_Небе_309

44

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим двух игроков: Алису и Боба. Чтобы выиграть игру, им нужно, чтобы шестерка выпала раньше, и мы хотим найти вероятность выигрыша каждого игрока.

Давайте начнем с того, что определим вероятность того, что хотя бы одна шестерка выпадет за \(n\) бросков для обоих игроков. Здесь мы будем использовать дополнение вероятности.

Вероятность того, что ни одна шестерка не выпадет за \(n\) бросков для одного игрока, будет равна вероятности того, что выпадет любое из чисел с одной до пяти на каждом броске. Так как на каждом броске выпадает одно из 6 чисел равновероятно, вероятность выпадения любого числа кратна \(\frac{1}{6}\). Таким образом, вероятность выпадения числа от одного до пяти на каждом из \(n\) бросков равна \(\left(\frac{5}{6}\right)^n\).

Теперь мы можем использовать дополнение вероятности, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна шестерка выпадет за \(n\) бросков. Это будет равно 1 минус вероятность того, что ни одна шестерка не выпадет:

\[P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за } n \text{ бросков}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n\]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что шестерка выпадет раньше у одного из игроков, нам нужно посчитать сумму вероятностей того, что хотя бы одна шестерка выпадет за любое количество бросков:

\[P(\text{шестерка выпала раньше игрока}) = P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за 1 бросок}) + P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за 2 броска}) + \ldots\]

Мы можем записать эту сумму с помощью бесконечного ряда:

\[P(\text{шестерка выпала раньше игрока}) = \sum_{n=1}^{\infty} P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за } n \text{ бросков})\]

Теперь мы должны найти вероятность выигрыша каждого игрока. Предположим, что вероятность выигрыша Алисы равна \(P(A)\), а вероятность выигрыша Боба равна \(P(B)\). Мы знаем, что оба должны быть равны сумме независимых событий, называемых событием "шестерка выпала раньше игрока". Таким образом, мы можем записать:

\[P(A) = P(\text{шестерка выпала раньше Алисы}) = \sum_{n=1}^{\infty} P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за } n \text{ бросков})\]

Аналогично,

\[P(B) = P(\text{шестерка выпала раньше Боба}) = \sum_{n=1}^{\infty} P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за } n \text{ бросков})\]

Теперь мы можем предположить, что \(P(A) = P(B) = p\), и записать уравнение:

\[p = \sum_{n=1}^{\infty} P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за } n \text{ бросков})\]

Чтобы решить это уравнение и найти вероятность выигрыша каждого игрока, давайте вычислим первые несколько членов бесконечной суммы:

\(P(\text{шестерка выпала за 1 бросок}) = P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за 1 бросок}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{1}{6}\)

\(P(\text{шестерка выпала за 2 броска}) = P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за 2 броска}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{11}{36}\)

\(P(\text{шестерка выпала за 3 броска}) = P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за 3 броска}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{91}{216}\)

Мы видим, что первые несколько членов образуют геометрическую прогрессию. Мы можем записать общее выражение для \(n\)-го члена:

\[P(\text{шестерка выпала за } n \text{ бросков}) = P(\text{хотя бы одна шестерка выпала за } n \text{ бросков}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n\]

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

\[p = \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n\right)\]

Чтобы найти значение суммы, мы можем использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n\right) = \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = 6\]

Таким образом, вероятность выигрыша каждого игрока равна \(p = 6\).

Итак, ответ на задачу заключается в том, что вероятность выигрыша каждого игрока в игре с бросанием игральной кости, где победителем считается тот, у кого шестерка выпадет раньше, равна \(p = 6\) или 100%.