Каковы возможные значения корня функции f(x), если квадратный трёхчлен имеет один корень и у уравнения f(5x+1

Svyatoslav_3436

20

Для начала рассмотрим квадратный трехчлен $f(x)$ с одним корнем. Если у данного трехчлена только один корень, то это означает, что дискриминант $D$ равен нулю.

Дискриминант $D$ можно выразить следующей формулой: $D=b^2-4ac$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты квадратного трехчлена.

Пусть корень квадратного трехчлена $f(x)$ равен $k$. Тогда мы можем записать уравнение $f(x)=a(x-k{)}^2$, где $a$ - любое ненулевое число.

Теперь рассмотрим уравнение $f(5x+1)+f(6x-3)=0$ и предположим, что у него также есть один корень. Для удобства введем новую переменную $y=5x+1$ и преобразуем уравнение:

$$f(y)+f(6(y-1)/5-3)=0$$

Теперь заменим $f(y)$ на $a(y-k{)}^2$ и упростим:

$$a(y-k{)}^2+a(6(y-1)/5-3-k{)}^2=0$$

Упростим это уравнение и разложим скобки:

$$a(y^2-2yk+k^2)+a(6(y^2-\frac{12}{5}(y-1)+\frac{9}{5}-6k+k^2))=0$$

Раскроем скобки:

$$a{y}^2-2ayk+a{k}^2+6a{y}^2-72/5\ast (y-1)+36/5-36ak+6a{k}^2=0$$

Теперь сгруппируем слагаемые и преобразуем уравнение:

$$(a+6a)y^2+(-2ak-72/5)y+(a{k}^2+36/5-72/5+6a{k}^2+36/5)=0$$

$$7a{y}^2+(-2ak-72/5)y+(7a{k}^2-36/5)=0$$

Так как у данного уравнения также есть один корень, то его дискриминант должен быть равен нулю:

$$\mathrm{\Delta }=(-2ak-72/5{)}^2-4(7a)(7a{k}^2-36/5)=0$$

Раскроем скобки и упростим:

$$4a^2{k}^2+4ak\cdot 2\cdot 72/5+(72/5{)}^2-4(7a)(7a{k}^2-36/5)=0$$

$$4a^2{k}^2+4ak\cdot 144/5+5184/25-196a^2{k}^2+4ak\cdot 36/5-288/5=0$$

$$4a^2{k}^2-196a^2{k}^2+\frac{576}{25}=0$$

$$4a^2{k}^2(1-49)+\frac{576}{25}=0$$

$$-196a^2{k}^2+\frac{576}{25}=0$$

$$a^2{k}^2-\frac{576}{25\cdot 196}=0$$

$$a^2{k}^2-\frac{9}{49}=0$$

Теперь мы получили квадратное уравнение для значений $a$ и $k$. Решим его.

$$a^2{k}^2=\frac{9}{49}$$

$$ak=\pm \frac{3}{7}$$

Таким образом, возможные значения корня функции $f(x)$, при которых исходное уравнение имеет один корень, это $k=\pm \frac{3}{7}$, а соответствующие значения коэффициента $a$ равны $\pm \frac{3}{7}$.