Каковы возможные значения корня функции f(x), если квадратный трёхчлен имеет один корень и у уравнения f(5x+1

Svyatoslav_3436

20

Для начала рассмотрим квадратный трехчлен \(f(x)\) с одним корнем. Если у данного трехчлена только один корень, то это означает, что дискриминант \(D\) равен нулю.

Дискриминант \(D\) можно выразить следующей формулой: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного трехчлена.

Пусть корень квадратного трехчлена \(f(x)\) равен \(k\). Тогда мы можем записать уравнение \(f(x) = a(x-k)^2\), где \(a\) - любое ненулевое число.

Теперь рассмотрим уравнение \(f(5x+1) + f(6x-3) = 0\) и предположим, что у него также есть один корень. Для удобства введем новую переменную \(y = 5x + 1\) и преобразуем уравнение:

\[f(y) + f(6(y-1)/5-3) = 0\]

Теперь заменим \(f(y)\) на \(a(y-k)^2\) и упростим:

\[a(y-k)^2 + a(6(y-1)/5 - 3 - k)^2 = 0\]

Упростим это уравнение и разложим скобки:

\[a(y^2 - 2yk + k^2) + a(6(y^2 - \frac{12}{5}(y-1) + \frac{9}{5} - 6k + k^2)) = 0\]

Раскроем скобки:

\[ay^2 - 2ayk + ak^2 + 6ay^2 - 72/5*(y-1) + 36/5 - 36ak + 6ak^2 = 0\]

Теперь сгруппируем слагаемые и преобразуем уравнение:

\[(a+6a)y^2 + (-2ak - 72/5)y + (ak^2 + 36/5 - 72/5 + 6ak^2 + 36/5) = 0\]

\[7ay^2 + (-2ak - 72/5)y + (7ak^2 - 36/5) = 0\]

Так как у данного уравнения также есть один корень, то его дискриминант должен быть равен нулю:

\[\Delta = (-2ak - 72/5)^2 - 4(7a)(7ak^2 - 36/5) = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[4a^2k^2 + 4ak \cdot 2 \cdot 72/5 + (72/5)^2 - 4(7a)(7ak^2 - 36/5) = 0\]

\[4a^2k^2 + 4ak \cdot 144/5 + 5184/25 - 196a^2k^2 + 4ak \cdot 36/5 - 288/5 = 0\]

\[4a^2k^2 - 196a^2k^2 + \frac{576}{25} = 0\]

\[4a^2k^2(1 - 49) + \frac{576}{25} = 0\]

\[-196a^2k^2 + \frac{576}{25} = 0\]

\[a^2k^2 - \frac{576}{25 \cdot 196} = 0\]

\[a^2k^2 - \frac{9}{49} = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение для значений \(a\) и \(k\). Решим его.

\[a^2k^2 = \frac{9}{49}\]

\[ak = \pm \frac{3}{7}\]

Таким образом, возможные значения корня функции \(f(x)\), при которых исходное уравнение имеет один корень, это \(k = \pm \frac{3}{7}\), а соответствующие значения коэффициента \(a\) равны \(\pm \frac{3}{7}\).