Какой график имеет функция y=3^x и какие свойства у этой функции? Какой график имеет функция y=(1/2)^x и какие свойства

Zimniy_Vecher_4456

18

Функция \(y=3^x\) является экспоненциальной функцией, где основание равно 3. Чтобы построить график этой функции, мы можем выбрать несколько значений для переменной \(x\) и вычислить соответствующие значения \(y\).

Например, если мы возьмем значения \(x=-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), и \(2\), мы можем вычислить значения \(y\) следующим образом:

\[
\begin{align*}
x=-2: &y=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\\
x=-1: &y=3^{-1}=\frac{1}{3}\\
x=0: &y=3^0=1\\
x=1: &y=3^1=3\\
x=2: &y=3^2=9\\
\end{align*}
\]

Теперь, когда у нас есть набор значений \(x\) и \(y\), мы можем построить график, где на оси \(x\) мы откладываем значения \(x\), а на оси \(y\) - соответствующие значения \(y\).

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & \frac{1}{9} \\
-1 & \frac{1}{3} \\
0 & 1 \\
1 & 3 \\
2 & 9 \\
\hline
\end{array}
\]

Далее, мы соединяем точки и получаем график функции \(y=3^x\).

\[
\begin{array}{c}
\\
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=center,
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(y\)},
xmin=-3, xmax=3,
ymin=0, ymax=10,
xtick={-2, -1, 0, 1, 2},
ytick={0, 1, 3, 9},
yticklabels={0, 1, 3, 9},
]
\addplot [domain=-2:2, samples=100, thick] {3^x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь перейдем к свойствам функции \(y=3^x\). Вот некоторые из них:

1. Рост функции: При увеличении значения \(x\) функция \(y=3^x\) растет экспоненциально. Значит, с каждым увеличением \(x\) в единицу, значение \(y\) также увеличивается в \(3\) раза.

2. Ограничение внизу: Функция \(y=3^x\) ограничена снизу нулем. То есть значение \(y\) не может стать отрицательным или равным нулю.

3. Безасимптотность: Функция \(y=3^x\) не имеет асимптот или горизонтальной прямой, к которой график стремится.

4. Монотонность: Функция \(y=3^x\) монотонно возрастает при \(x>0\) и монотонно убывает при \(x<0\).

Теперь рассмотрим функцию \(y=(\frac{1}{2})^x\). Это также экспоненциальная функция, но с основанием \(\frac{1}{2}\).

Процедура построения графика и анализа свойств функции \(y=(\frac{1}{2})^x\) аналогична той, что мы применили к функции \(y=3^x\).