Каковы законы распределения количества выстрелов, сделанных каждым стрелком, когда они поочередно стреляют по мишени

Марат

19

Чтобы понять законы распределения количества выстрелов, сделанных каждым стрелком, когда они поочередно стреляют по мишени до тех пор, пока один из них не промахнется, мы можем рассмотреть каждый случай в отдельности.

Предположим, первый стрелок попадает с вероятностью \( p_1 \), а второй стрелок попадает с вероятностью \( p_2 \). Наша задача - выяснить, как распределено количество выстрелов каждого стрелка до промаха.

Обозначим через \( X_1 \) количество выстрелов первого стрелка до промаха, а через \( X_2 \) количество выстрелов второго стрелка до промаха.

Давайте рассмотрим первый случай: первый стрелок попадает в мишень с первого выстрела. В этом случае \( X_1 = 1 \), а \( X_2 \) неопределенно, так как второй стрелок еще не стрелял. Вероятность этого события равна \( p_1 \).

Теперь рассмотрим второй случай: первый стрелок промахивается с первого выстрела, а второй стрелок попадает с первого выстрела. В этом случае \( X_1 = 1 \) и \( X_2 = 1 \). Вероятность этого события равна \( (1-p_1) \cdot p_2 \).

Мы можем продолжить анализировать каждый возможный случай, но это может быть довольно сложно. Вместо этого воспользуемся более эффективным методом решения этой задачи - рекурсивными соотношениями.

Заметим, что для первого стрелка, если он попадает с первого выстрела, то количество попаданий будет равно 1. Если он промахнется с первого выстрела, то оставшаяся задача будет эквивалентна исходной задаче, только с вероятностями попадания для каждого из стрелков измененными: \( p_1 \) заменится на \( (1-p_1) \) для первого стрелка, а \( p_2 \) - на \( p_2 \) для второго стрелка.

Таким образом, для первого стрелка рекурсивное соотношение будет выглядеть следующим образом:

\[ P(X_1=k) = \begin{cases}
p_1 & \text{если } k=1 \\
(1-p_1) \cdot P(X_1=k-1) & \text{если } k>1 \\
\end{cases} \]

Аналогично, для второго стрелка рекурсивное соотношение будет выглядеть следующим образом:

\[ P(X_2=k) = \begin{cases}
0 & \text{если } k=0 \\
p_2 \cdot (1-p_1) \cdot P(X_1=k-1) & \text{если } k>0 \\
\end{cases} \]

Используя эти рекурсивные соотношения, можно решить задачу для любых заданных вероятностей \( p_1 \) и \( p_2 \). Однако, для конкретных значений этих вероятностей, получить общую формулу для закона распределения может быть сложно.

Если вам нужно найти конкретные численные значения вероятности \( P(X_1=k) \) и \( P(X_2=k) \), вы можете использовать эти рекурсивные соотношения и построить дерево возможных исходов, чтобы рассчитать их.