Для якого значення функції y = -9х² - 6x + 19 досягається максимальне значення?

Забытый_Замок

1

Чтобы найти значение функции \(y = -9x^2 - 6x + 19\), при котором она достигает максимального значения, нам понадобится использовать некоторые концепции из алгебры и математического анализа. Для начала, нам нужно понять, как функция выглядит и как она ведет себя.

Функция задана в виде квадратного трехчлена, где коэффициенты перед \(x^2\), \(x\) и свободный член равны -9, -6 и 19 соответственно. Так как у коэффициента при \(x^2\) отрицательный знак, это означает, что парабола, описываемая этой функцией, будет иметь "вверх" направленный вид.

Такой вид параболы называется параболой с отрицательным коэффициентом при \(x^2\). И нам нужно найти значение \(x\), при котором функция достигает своего максимального значения \(y\).

Для этого нам будет полезно знание о вершине параболы. Вершина параболы является точкой на графике функции, где она достигает своего экстремума - максимума или минимума.

Формула вершины параболы выглядит следующим образом:
\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}\]
\[y_{\text{вершины}} = f(x_{\text{вершины}})\]

В нашем случае, у нас есть полином \(y = -9x^2 - 6x + 19\), поэтому \(a = -9\) и \(b = -6\). Подставляя значения в формулу, получаем:
\[x_{\text{вершины}} = -\frac{-6}{2 \cdot -9}\]

Рассчитаем это значение:
\[x_{\text{вершины}} = \frac{-6}{-18} = \frac{1}{3}\]

Теперь, чтобы найти соответствующее значение \(y\) в точке вершины, подставим \(x_{\text{вершины}}\) обратно в исходную функцию:
\[y_{\text{вершины}} = -9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 6 \cdot \frac{1}{3} + 19\]

Давайте произведем вычисления:
\[y_{\text{вершины}} = -9 \cdot \frac{1}{9} - 2 + 19 = -1 - 2 + 19 = 16\]

Таким образом, максимальное значение функции \(y = -9x^2 - 6x + 19\) достигается при \(x = \frac{1}{3}\) и равно \(y = 16\).