Каковы значения диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 3 см и 3 см, а угол между ними составляет 120°?

Strekoza

31

Чтобы найти значения диагоналей параллелограмма, нам понадобится знание о свойствах параллелограмма. Сначала давайте вспомним, что параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

У нас есть параллелограмм, у которого стороны равны 3 см и 3 см, а угол между ними составляет 120°. Зная, что угол между сторонами является вершинным углом параллелограмма, мы можем сделать следующие наблюдения:

1. У параллелограмма вершина A, противоположная стороне 3 см. Обозначим эту вершину А.
2. Вершина B противоположна углу 120°. Обозначим эту вершину B.
3. От вершины B проведем сторону, параллельную стороне 3 см, и пересекающую сторону 3 см в точке C. Обозначим эту точку C.
4. Теперь имеем два треугольника - треугольник ABC и треугольник BCD.

Чтобы найти значения диагоналей, нам понадобятся длины сторон и углы треугольников. Рассмотрим каждый треугольник по отдельности:

1. Треугольник ABC:
У нас есть двумерный равнобедренный треугольник ABC, у которого вершина А является углом 120°. Угол А равен 120°, поскольку сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, угол АВС равен (180° - 120°) / 2 = 60°. Мы также знаем, что сторона АС равна 3 см. Теперь мы можем использовать формулы для нахождения длин сторон треугольника ABC.

Учитывая угол и сторону, мы можем использовать закон синусов:
\[\frac{AC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\]

Подставляем значения:
\[\frac{AC}{\sin 60°} = \frac{3}{\sin 30°}\]

Вычисляем значения синусов с помощью тригонометрических таблиц или калькулятора:
\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}}\]
\[\frac{AC}{\sqrt{3}/2} = 3 \cdot 2\]
\[AC = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, длина диагонали AC равна \(2\sqrt{3}\) см.

2. Треугольник BCD:
Мы также можем рассмотреть треугольник BCD для нахождения другой диагонали. В этом треугольнике у нас имеется два равных угла, поскольку стороны параллелограмма равны. Таким образом, угол B равен углу C, и мы знаем, что сторона BC равна 3 см (поскольку это длина одной из сторон параллелограмма).

Давайте снова использовать закон синусов:
\[\frac{BD}{\sin B} = \frac{BC}{\sin D}\]

Подставляем значения:
\[\frac{BD}{\sin C} = \frac{3}{\sin D}\]
\[\frac{BD}{\sin C} = \frac{3}{\sin C}\]
\[BD = 3\]

Таким образом, длина диагонали BD равна 3 см.

Итак, значения диагоналей параллелограмма равны \(2\sqrt{3}\) см и 3 см соответственно.