Каковы значения диагоналей параллелограмма с сторонами, равными 2 см и 8 см, и углом между ними, равным 120 градусов?

Суслик_2948

26

Чтобы найти значения диагоналей параллелограмма, нам понадобится использовать теорему косинусов. Давайте введем обозначения:

Пусть стороны параллелограмма равны \(a = 2\) см и \(b = 8\) см, а угол между этими сторонами равен \(\theta = 120\) градусов.

Первая диагональ параллелограмма (\(d_1\)) соединяет противоположные вершины и делит параллелограмм на два равных треугольника. Вторая диагональ (\(d_2\)) также соединяет противоположные вершины, но делит параллелограмм на два других равных треугольника.

Чтобы найти значения диагоналей, мы можем использовать теорему косинусов для каждой диагонали. Вспомним, что теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)\]

Применим эту формулу для каждой диагонали:

Для первой диагонали (\(d_1\)):
\[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)\]
\[d_1^2 = 2^2 + 8^2 - 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)\]

Для второй диагонали (\(d_2\)):
\[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)\]
\[d_2^2 = 2^2 + 8^2 - 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)\]

Вычислим значения диагоналей:

\[d_1^2 = 4 + 64 - 32 \cdot \cos(120^\circ)\]

Чтобы найти значение \(\cos(120^\circ)\), мы должны знать треугольник, у которого углом между сторонами является 120 градусов. Вспомним, что \(\cos(120^\circ) = -0.5\) (треугольник равносторонний).

\[d_1^2 = 4 + 64 - 32 \cdot (-0.5)\]
\[d_1^2 = 4 + 64 + 16\]
\[d_1^2 = 84\]
\[d_1 = \sqrt{84} \approx 9.17\] см

\[d_2^2 = 4 + 64 - 32 \cdot \cos(120^\circ)\]
\[d_2^2 = 4 + 64 - 32 \cdot (-0.5)\]
\[d_2^2 = 4 + 64 + 16\]
\[d_2^2 = 84\]
\[d_2 = \sqrt{84} \approx 9.17\] см

Таким образом, значения диагоналей параллелограмма составляют примерно 9.17 см каждая.