Каковы значения длины полуосей, координат фокусов и вершин, уравнения асимптот и острого угла между асимптотами

Lazernyy_Reyndzher

33

Хорошо, давайте начнем с решения задачи о гиперболе и построении ее графика. Предположим, что у нас есть уравнение гиперболы в стандартной форме:

\[\frac{{(x - h)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y - k)^2}}{{b^2}} = 1\]

где (h, k) - координаты центра гиперболы, a и b - полуоси.

Для определения полуосей воспользуемся следующими формулами:

\[a = \sqrt{{\text{{большая полуось}}}}\]
\[b = \sqrt{{\text{{малая полуось}}}}\]

Теперь решим уравнение на примере.

Предположим, у нас есть гипербола с уравнением:

\[\frac{{(x - 2)^2}}{{9}} - \frac{{(y + 1)^2}}{{16}} = 1\]

Сравнивая данное уравнение с уравнением гиперболы в стандартной форме, мы видим, что:
- Центр гиперболы имеет координаты (h, k) = (2, -1).
- Большая полуось равна a = \(\sqrt{9} = 3\).
- Малая полуось равна b = \(\sqrt{16} = 4\).

Теперь перейдем к нахождению координат фокусов и вершин гиперболы.

Фокусы гиперболы можно найти, используя следующую формулу:

\[c = \sqrt{{a^2 + b^2}}\]

где c - расстояние от центра гиперболы до фокусов.

Также, вершины гиперболы можно определить, зная значения полуосей.

Координаты фокусов ф1 и ф2 можно найти с помощью следующих формул:

\[x_1 = h - c\]
\[y_1 = k\]

\[x_2 = h + c\]
\[y_2 = k\]

Координаты вершин можно определить с помощью следующих формул:

\[x_3 = h - a\]
\[y_3 = k\]

\[x_4 = h + a\]
\[y_4 = k\]

Для нашего примера:

Рассчитаем c:
\[c = \sqrt{{3^2 + 4^2}} = \sqrt{{9 + 16}} = \sqrt{{25}} = 5\]

Теперь найдем координаты фокусов:
\[x_1 = 2 - 5 = -3\]
\[y_1 = -1\]

\[x_2 = 2 + 5 = 7\]
\[y_2 = -1\]

И координаты вершин:
\[x_3 = 2 - 3 = -1\]
\[y_3 = -1\]

\[x_4 = 2 + 3 = 5\]
\[y_4 = -1\]

Теперь рассмотрим уравнение асимптот. Функция асимптот гиперболы имеет вид:

\[y = k \pm \frac{b}{a} \cdot (x - h)\]

где k - координата центра гиперболы, a и b - полуоси.

Подставим значения из нашего уравнения:

\[y = -1 \pm \frac{4}{3} \cdot (x - 2)\]

Теперь найдем острый угол между асимптотами. Известно, что это угол вписанный и равен \(2\alpha\), где a и b - полуоси гиперболы, \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), и \(\tan{\alpha} = \frac{b}{a}\).

В нашем случае, \(\tan{\alpha} = \frac{4}{3}\), значит, \(\alpha = \arctan{\frac{4}{3}}\).

Острый угол между асимптотами будет равен \(2\alpha = 2 \cdot \arctan{\frac{4}{3}} \approx 148.366\degree\).

Таким образом, для данного уравнения гиперболы:
- Значения полуосей составляют a = 3 и b = 4.
- Координаты фокусов: ф1(-3, -1) и ф2(7, -1).
- Координаты вершин: вершина 1 (-1, -1) и вершина 2(5, -1).
- Уравнение асимптот: \(y = -1 \pm \frac{4}{3} \cdot (x - 2)\).
- Острый угол между асимптотами: около 148.366\degree.

Теперь, давайте построим график гиперболы в соответствии с полученными данными: