Каковы значения гипотенузы и меньшего катета прямоугольного треугольника, если один из его углов составляет 60°

Sladkiy_Poni_8184

32

Для решения данной задачи, мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Пусть гипотенуза имеет длину \( c \), а меньший катет - длину \( a \).

В прямоугольном треугольнике, где один из углов составляет 60°, у нас есть основание прямоугольного треугольника, равное \( a \), и противолежащая сторона угла 60°, равная \( c \), так как гипотенуза - самая длинная сторона треугольника.

Мы знаем, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 10. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[ c + a = 10 \]

Также мы знаем, что угол между гипотенузой и другим катетом составляет 90°. Используя тригонометрический косинус, мы можем записать уравнение:

\[ a = c \cdot \cos(60°) \]

Подставляя это уравнение в первое уравнение, получим:

\[ c + c \cdot \cos(60°) = 10 \]

Теперь возьмем тождество тригонометрии, чтобы выразить \(\cos(60°)\) через \(\cos(30°)\):

\[ \cos(60°) = \cos(90° - 30°) = \sin(30°) \]

Подставляя это значение, получим:

\[ c + c \cdot \sin(30°) = 10 \]

Зная, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), мы можем продолжить вычисления:

\[ c + \frac{c}{2} = 10 \]
\[ \frac{3c}{2} = 10 \]
\[ 3c = 20 \]
\[ c = \frac{20}{3} \]

Таким образом, значение гипотенузы равно \(\frac{20}{3}\).

Теперь, используя уравнение \(a = c \cdot \sin(30°)\), мы можем найти значение меньшего катета:

\[ a = \frac{20}{3} \cdot \sin(30°) \]

Зная, что \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), мы можем продолжить вычисления:

\[ a = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{2} \]
\[ a = \frac{10}{3} \]

Итак, значение меньшего катета равно \(\frac{10}{3}\).