Каково отношение высоты, опущенной из прямого угла, к гипотенузе прямоугольного треугольника, если косинус одного

Evgenyevich

54

Для решения задачи нам понадобится использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов, а \(C\) - угол при гипотенузе.

В нашем случае, у нас есть косинус одного из углов треугольника, который равен 0.7. Обозначим этот угол как \(\alpha\). Также, по условию задачи, мы знаем, что \(\alpha\) - прямой угол. То есть, мы можем записать:

\[\cos(\alpha) = 0.7\]

Так как у нас прямоугольный треугольник, то второй угол будет дополнительным к \(\alpha\) прямому углу, то есть \(\beta = 90^\circ - \alpha\).

Теперь мы можем применить теорему косинусов для нашего треугольника. В данном случае, гипотенуза \(c\) будет соответствовать высоте, опущенной из прямого угла, а один из катетов будет равен \(h\), так как это прямой угол и высота является катетом прямоугольного треугольника.

Теперь мы можем записать уравнение:

\[(h)^2 = (c)^2 + (b)^2 - 2(c)(b) \cdot \cos(\beta)\]

Подставим значения, которые у нас есть в данный момент:

\[(h)^2 = (c)^2 + (b)^2 - 2(c)(b) \cdot \cos(90^\circ - \alpha)\]

Так как мы знаем, что \(\cos(\alpha) = 0.7\), то \(\cos(90^\circ - \alpha)\) можно выразить через \(\cos(\alpha)\) по формуле:

\[\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}\]

Подставляем эту формулу в предыдущее уравнение:

\[(h)^2 = (c)^2 + (b)^2 - 2(c)(b) \cdot \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}\]

Теперь нам нужно разрешить уравнение относительно \(\frac{h}{c}\). Для этого, выразим \(\frac{h}{c}\):

\[\frac{h}{c} = \sqrt{1 - \frac{(b)^2 - 2(c)(b) \cdot \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}}{(c)^2}}\]

Таким образом, отношение высоты, опущенной из прямого угла, к гипотенузе прямоугольного треугольника будет равно \(\sqrt{1 - \frac{(b)^2 - 2(c)(b) \cdot \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}}{(c)^2}}\). Теперь у нас есть окончательный ответ с обоснованием и пошаговым решением.