Каковы значения напряженности и потенциала внутри и вокруг двух концентрических металлических сфер с радиусами 15

Pchelka_5048

52

Для решения этой задачи нам понадобятся несколько концепций электростатики. Начнем с разницы потенциалов между двумя точками, которая определяется формулой:

\[V = \frac{{k \cdot Q}}{{r}}\]

где \(V\) - потенциал, \(k\) - постоянная Кулона (\(k = 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(Q\) - заряд, \(r\) - радиус.

Поскольку внутренняя сфера имеет отрицательный заряд и находится внутри внешней сферы, чтобы найти потенциал внутри и вокруг этих сфер, нам необходимо применить принцип суперпозиции, суммируя вклад каждой сферы отдельно. Радиусы сфер даны: \(r_1 = 0.15 \, \text{м}\) (внутренняя сфера) и \(r_2 = 0.30 \, \text{м}\) (внешняя сфера). Заряд на внутренней сфере составляет \(Q_1 = -2 \times 10^{-8} \, \text{Кл}\), а потенциал на внешней сфере равен \(V_2 = 450 \, \text{В}\).

Потенциал внутри внешней сферы (\(V_{\text{внеш}}} = V_2 = 450 \, \text{В}\), так как потенциал не зависит от расстояния от центра сферы.

Для того чтобы найти потенциал на внутренней сфере (\(V_{\text{внутр}}} \), мы можем использовать формулу для разницы потенциалов и подставить известные значения:

\[V_{\text{внутр}}} = \frac{{k \times Q_1}}{{r_1}} = \frac{{9 \times 10^9 \times (-2 \times 10^{-8})}}{{0.15}} \approx -1200 \, \text{В}\]

Теперь мы можем рассчитать разницу потенциалов между сферами, которая является разницей потенциалов на внешней и внутренней сферах:

\[\Delta V = V_2 - V_{\text{внутр}}} = 450 - (-1200) = 1650 \, \text{В}\]

Теперь, чтобы найти напряжение вокруг этих сфер, нам нужно разделить разность потенциалов на разницу радиусов:

\[E = \frac{{\Delta V}}{{r_2 - r_1}} = \frac{{1650}}{{0.30 - 0.15}} = 11000 \, \text{В/м}\]

Таким образом, напряженность вокруг сфер составляет \(11000 \, \text{В/м}\).

Чтобы найти потенциал и напряженность в точках, находящихся на расстояниях 10 и 20 см от центра сферы, мы можем использовать те же формулы:

Для точки, находящейся на расстоянии 10 см (\(r = 0.10 \, \text{м}\)) от центра сферы:

\[V = \frac{{k \times Q_1}}{{r_1}} + \frac{{k \times Q_2}}{{r_2 - r_1 + r_2}}\]
\[E = \frac{{\Delta V}}{{r_2 - r_1}}\]

Для точки, находящейся на расстоянии 20 см (\(r = 0.20 \, \text{м}\)) от центра сферы:

\[V = \frac{{k \times Q_1}}{{r_1}} + \frac{{k \times Q_2}}{{r_2 - r_1 + r_2}}\]
\[E = \frac{{\Delta V}}{{r_2 - r_1}}\]

Подставив известные значения, мы можем рассчитать потенциал и напряженность в этих точках.