Каковы значения радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник со сторонами 20 см и 32 см, а также радиуса

Кристина

6

Конечно, решим поставленные задачи.

1. Решение задачи на нахождение радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

Сначала найдем высоту \(h\) равнобедренного треугольника по формуле полупериметра \(p\) и площади \(S\): \[h = \frac{2S}{a},\] где \(a\) - длина основания. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_e\), где \(h_e\) - высота, опущенная из вершины треугольника на основание.

По условию задачи \(a = 20\,см\), \(c = 32\,см\), \(b = 32\,см\) (боковые стороны равнобедренного треугольника).

Сначала найдем площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h_e.\]

Теперь найдем высоту, используя формулу для площади и сторон: \[\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h_e = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h,\] где \(h\) - высота из вершины треугольника.

Из подобия треугольников следует, что \(\frac{h}{h_e} = \frac{c}{a} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5}.\)

Таким образом, \(h = \frac{8}{5} \cdot h_e.\) Подставим это в наше уравнение: \[\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{8}{5} \cdot h_e = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h_e,\] откуда получаем, что \(h_e = 16\,см.\)

Теперь можем найти радиус вписанной окружности, который равен высоте поделенной на 3: \(r = \frac{h_e}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}\,см.\)

Таким образом, радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника со сторонами 20 см и 32 см равен 5\(\frac{1}{3}\) см.

2. Решение задачи на нахождение радиуса описанной окружности в равнобедренном треугольнике:

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы треугольника: \(R = \frac{32}{2} = 16\,см.\)

Таким образом, радиус описанной окружности равнобедренного треугольника со сторонами 20 см и 32 см равен 16 см.

3. Дополнительные задачи по геометрии для 9 класса:
- Найдите площадь треугольника, если известны две стороны и угол между ними.
- Решите систему уравнений, где одно уравнение описывает окружность, а другое - прямую.
- Найдите объем и площадь поверхности цилиндра, если известны его радиус и высота.