Каковы значения сторон mn и nk, если треугольник mnk имеет периметр 8 см и угол m равен 45 градусов, а угол к равен

Muha

7

Чтобы найти значения сторон \(mn\) и \(nk\), нам нужно использовать сумму углов треугольника и свойства треугольника, которое гласит, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи.

Шаг 1: Найдем значение третьего угла \(n\) треугольника \(mnk\).

Сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусов. У нас уже известны значения углов \(m\) (45 градусов) и \(к\) (30 градусов). Таким образом, мы можем найти значение угла \(n\) следующим образом:

\(n = 180 - (m + к) = 180 - (45 + 30) = 180 - 75 = 105\) градусов.

Шаг 2: Используем синусы и косинусы для нахождения длин сторон.

Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус угла равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае мы можем использовать угол \(n\) для нахождения стороны \(nm\), а угол \(m\) для нахождения стороны \(mk\).

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[
nm = \frac{{nk}}{{\sin(m)}} = \frac{{nk}}{{\sin(45)}}
\]

\[
mk = \frac{{nk}}{{\sin(n)}} = \frac{{nk}}{{\sin(105)}}
\]

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные: \(nm\) и \(mk\). Но у нас есть уже известный периметр треугольника, который равен 8 см. Периметр треугольника определяется суммой длин всех его сторон, поэтому мы можем записать уравнение:

\(nm + nk + mk = 8\).

Шаг 3: Решение системы уравнений.

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (втретьем уравнении неизвестной нет) и периметром. Мы можем объединить уравнения:

\[
\frac{{nk}}{{\sin(45)}} + nk + \frac{{nk}}{{\sin(105)}} = 8
\]

Обобщайте переменную \(nk\), получаем:

\[
nk \left( \frac{1}{\sin(45)} + 1 + \frac{1}{\sin(105)} \right) = 8
\]

Теперь, делим обе части равенства на получившееся выражение, чтобы найти значение \(nk\):

\[
nk = \frac{8}{{\frac{1}{\sin(45)} + 1 + \frac{1}{\sin(105)}}}
\]

Шаг 4: Найдем значения \(nm\) и \(mk\), используя найденное значение \(nk\).

Подставляем значение \(nk\) в начальные уравнения:

\[
nm = \frac{{nk}}{{\sin(45)}} \quad \text{и} \quad mk = \frac{{nk}}{{\sin(105)}}
\]

Выполняем вычисления:

\[
nm = \frac{8}{{\frac{1}{\sin(45)} + 1 + \frac{1}{\sin(105)}}} \cdot \frac{1}{\sin(45)}
\]

\[
mk = \frac{8}{{\frac{1}{\sin(45)} + 1 + \frac{1}{\sin(105)}}} \cdot \frac{1}{\sin(105)}
\]

Вычисляя значения \(nm\) и \(mk\), мы найдем искомые значения сторон треугольника \(mnk\).