Каковы значения сторон прямоугольника, если его площадь равна 36√3 см2 и угол между его диагоналями составляет

Мистический_Дракон

13

Давайте решим задачу!

Мы знаем, что площадь прямоугольника равна \(36\sqrt{3}\) см\(^2\). Чтобы найти значения его сторон, мы будем использовать следующие формулы:

1. Площадь прямоугольника: \(S = a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.
2. Длина диагонали прямоугольника: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(d\) - длина диагонали прямоугольника.

Также, у нас есть информация о угле между диагоналями прямоугольника, который равен 60 градусов. Это означает, что прямоугольник является ромбом, так как у ромба углы между диагоналями равны 60 градусов.

Давайте найдем длины сторон прямоугольника.

Из формулы площади получаем:

\[S = a \cdot b = 36\sqrt{3}\]

Теперь найдем длину одной из диагоналей ромба. По свойствам ромба, диагонали ромба делят угол между ними на равные части. Значит, каждый из двух треугольников, образованных диагоналями, является равносторонним.

Так как угол между диагоналями прямоугольника равен 60 градусов, каждый из этих двух треугольников является равносторонним и равнобедренным. То есть, в каждом треугольнике все стороны и углы равны.

Пусть \(x\) - длина стороны прямоугольника.

Тогда длина одной из диагоналей равна двум сторонам треугольника, и мы можем найти ее, используя теорему Пифагора:

\[d = 2x = \sqrt{x^2 + x^2}\]

Решив это уравнение, получаем:

\[4x^2 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = 12\]

Теперь найдем значения сторон прямоугольника:

\[a = x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]
\[b = \frac{S}{a} = \frac{36\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 18\]

Значит, стороны прямоугольника равны \(a = 2\sqrt{3}\) см и \(b = 18\) см.

Проверим наше решение:

Площадь прямоугольника: \(S = a \cdot b = (2\sqrt{3}) \cdot 18 = 36\sqrt{3}\) см\(^2\)

И это совпадает с данными из условия задачи.

Таким образом, значения сторон прямоугольника равны \(a = 2\sqrt{3}\) см и \(b = 18\) см.