Каковы значения третьей стороны и остальных углов данного треугольника, если две его стороны равны 7 см и √75

Красавчик

18

Данная задача о треугольнике требует некоторых вычислений и использования тригонометрии для нахождения значений его сторон и углов.

Для начала, давайте нарисуем треугольник. Две его стороны равны 7 см и \(\sqrt{75}\) см, а противолежащий угол составляет 60 градусов.

C
/\
/ \
A---B

Пусть сторона AB равна 7 см, сторона AC равна \(\sqrt{75}\) см, а угол BAC равен 60 градусов.

Для того чтобы найти третью сторону, обозначим её как BC. Мы можем использовать закон косинусов, который говорит, что квадрат третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. То есть, в нашем случае, мы можем записать:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(BAC)\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[BC^2 = 7^2 + \sqrt{75}^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{75} \cdot \cos(60^\circ)\]

Мы знаем, что \(cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), так как это значение соответствует косинусу угла 60 градусов. Подставляя это значение, упрощаем уравнение:

\[BC^2 = 49 + 75 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{75} \cdot \frac{1}{2}\]

\[BC^2 = 124 - 7 \cdot \sqrt{75}\]

Теперь мы можем найти значение \(BC\) путем извлечения квадратного корня:

\[BC = \sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}\) см.

Теперь давайте найдем оставшиеся углы треугольника. Для этого мы можем использовать закон синусов, который гласит, что отношение синуса угла к стороне, противолежащей этому углу, одинаково для всех углов треугольника. Имея стороны AB, AC и угол BAC, мы можем записать:

\[\frac{\sin(ACB)}{AB} = \frac{\sin(BAC)}{AC}\]

Подставляя известные значения:

\[\frac{\sin(ACB)}{7} = \frac{\sin(60^\circ)}{\sqrt{75}}\]

Мы знаем, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[\frac{\sin(ACB)}{7} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{75}}\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[\sin(ACB) = \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{75}}\]

\[\sin(ACB) = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3}}\]

\[\sin(ACB) = \frac{1}{2}\]

Теперь находим значение угла ACB, применяя обратную функцию синуса:

\[ACB = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\]

Мы знаем, что \(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ\), поэтому:

\[ACB = 30^\circ\]

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Поскольку мы уже знаем значения углов BAC и ACB, мы можем найти значение третьего угла:

\[ABC = 180^\circ - BAC - ACB\]
\[ABC = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ\]
\[ABC = 90^\circ\]

Таким образом, мы нашли значения третьей стороны и остальных углов данного треугольника. Третья сторона равна \(\sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}\) см, а углы ABC и ACB равны 90 градусов, а BAC равен 60 градусов.