Каковы значения тригонометрических функций острого угла A в следующих случаях: 1) значение tgA = 2 2) значение

Светлый_Мир_2204

17

Конечно, давайте решим каждую задачу по очереди:

1) Задано значение тангенса угла A, равное 2. Тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Для нахождения значений тригонометрических функций нам необходимо определить противолежащий и прилежащий катеты и гипотенузу треугольника.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза равна единице, можно найти оставшиеся катеты:

\[\text{гипотенуза} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]

Теперь мы можем использовать найденные значения катетов и гипотенузы, чтобы найти значения синуса, косинуса и тангенса:

\[\begin{align*}
\text{синус }A &= \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\\
\text{косинус }A &= \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\\
\text{тангенс }A &= \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{2}{1} = 2
\end{align*}\]

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла A в данном случае равны \(\sin A = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos A = \frac{1}{\sqrt{5}}, \tan A = 2\).

2) Задано значение синуса угла A, равное \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\). Синус также связан с противолежащим катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

Путем применения теоремы Пифагора мы находим гипотенузу треугольника:

\[\text{гипотенуза} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2}\]

Теперь мы можем использовать найденные значения катетов и гипотенузы для нахождения значений синуса, косинуса и тангенса:

\[\begin{align*}
\text{синус }A &= \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{22}} = \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{11}\\
\text{косинус }A &= \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{\sqrt{22}} = \frac{\sqrt{22}}{22}\\
\text{тангенс }A &= \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{22}}{2} = \frac{3\sqrt{11}}{11}
\end{align*}\]

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла A в данном случае равны \(\sin A = \frac{3\sqrt{11}}{11}, \cos A = \frac{\sqrt{22}}{22}, \tan A = \frac{3\sqrt{11}}{11}\).

3) Задано значение косинуса угла A, равное \(\frac{15}{17}\). Косинус также связан с прилежащим катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу треугольника:

\[\text{гипотенуза} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{15}{17}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{514}{289}} = \frac{2\sqrt{514}}{17}\]

Теперь мы можем использовать найденные значения катетов и гипотенузы для нахождения значений синуса, косинуса и тангенса:

\[\begin{align*}
\text{синус }A &= \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{514}}{17}} = \frac{17}{2\sqrt{514}} = \frac{17\sqrt{514}}{514}\\
\text{косинус }A &= \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\frac{15}{17}}{\frac{2\sqrt{514}}{17}} = \frac{15}{2\sqrt{514}} = \frac{15\sqrt{514}}{514}\\
\text{тангенс }A &= \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{1}{\frac{15}{17}} = \frac{17}{15}
\end{align*}\]

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла A в данном случае равны \(\sin A = \frac{17\sqrt{514}}{514}, \cos A = \frac{15\sqrt{514}}{514}, \tan A = \frac{17}{15}\).

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять, как найти значения тригонометрических функций заданного угла A в разных ситуациях. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!