Какой будет объем лунки, свободной от воды и свинца, после установления теплового равновесия, если во льду изначально

Petya

41

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо учесть, что процессом теплообмена между свинцом и льдом будет происходить теплообмен до тех пор, пока не установится тепловое равновесие. При этом, происходит плавление льда и охлаждение свинца до температуры плавления.

Давайте разобьем задачу на несколько шагов для наилучшего понимания:

Шаг 1: Рассчитаем количество теплоты, которое должно быть передано от свинца к льду для достижения равновесия.

Для этого воспользуемся формулой:

\(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\),

где
\(Q\) - количество теплоты,
\(m\) - масса вещества,
\(c\) - удельная теплоемкость,
\(\Delta T\) - изменение температуры.

Мы знаем, что масса свинца равна 1 кг, а температурное изменение будет составлять \(t^{*} - 0\), так как свинец охладится до температуры плавления льда. Здесь \(t^{*}\) - температура плавления свинца в градусах Цельсия.

Удельная теплоемкость свинца составляет \(c_{\text{свинец}} = 0,13 \, \text{Дж/град} \cdot \text{С}\) и удельная теплоемкость льда \(c_{\text{льд}} = 2,108 \, \text{Дж/град} \cdot \text{С}\).

Теперь можем рассчитать количество теплоты, которое должно быть передано от свинца к льду:

\[
Q = m_{\text{свинец}} \cdot c_{\text{свинец}} \cdot \Delta T + m_{\text{льд}} \cdot c_{\text{льд}} \cdot \Delta T
\]

где
\(m_{\text{свинец}}\) - масса свинца,
\(m_{\text{льд}}\) - масса льда.

Для расчетов примем, что плотность свинца составляет \(p_{\text{свинец}} = 11,34 \, \text{г/см³}\), а плотность льда \(p_{\text{льд}} = 0,92 \, \text{г/см³}\).

Масса свинца \(m_{\text{свинец}}\) можно рассчитать следующим образом:

\[
m_{\text{свинец}} = V_{\text{свинец}} \cdot p_{\text{свинец}}
\]

где
\(V_{\text{свинец}}\) - объем свинца.

Масса льда \(m_{\text{льд}}\) равна массе льда, который расплавился. В задаче указано, что во льду изначально был объем \(V = 100 \, \text{см³}\). Поскольку плотность льда постоянна, объем расплавившегося льда будет равен \(V_{\text{льд}}\).

Зная плотность льда и объем расплавленного льда, мы можем рассчитать массу расплавленного льда:

\[
m_{\text{льд}} = V_{\text{льд}} \cdot p_{\text{льд}}
\]

Теперь мы можем рассчитать количество теплоты, которое должно быть передано от свинца к льду:

\[
Q = m_{\text{свинец}} \cdot c_{\text{свинец}} \cdot \Delta T + m_{\text{льд}} \cdot c_{\text{льд}} \cdot \Delta T
\]

Шаг 2: Рассчитаем объем лунки, свободной от воды и свинца, после установления теплового равновесия.

Объем лунки будет равен разности изначального объема льда и объема расплавленного льда:

\[
V_{\text{лунка}} = V - V_{\text{льд}}
\]

Теперь рассмотрим все данные:

Масса свинца \(m_{\text{свинец}} = 1 \, \text{кг} = 1000 \, \text{г}\)
Температурное изменение \(\Delta T = t^{*} - 0\)
Удельная теплоемкость свинца \(c_{\text{свинец}} = 0,13 \, \text{Дж/град} \cdot \text{С}\)
Удельная теплоемкость льда \(c_{\text{льд}} = 2,108 \, \text{Дж/град} \cdot \text{С}\)
Плотность свинца \(p_{\text{свинец}} = 11,34 \, \text{г/см³}\)
Плотность льда \(p_{\text{льд}} = 0,92 \, \text{г/см³}\)
Изначальный объем льда \(V = 100 \, \text{см³}\)

Давайте продолжим с расчетами.

Расчет массы свинца:

\[
m_{\text{свинец}} = V_{\text{свинец}} \cdot p_{\text{свинец}}
\]

где \(V_{\text{свинец}}\) - объем свинца.

Мы можем рассчитать \(V_{\text{свинец}}\) следующим образом:

\[
V_{\text{свинец}} = \frac{m_{\text{свинец}}}{p_{\text{свинец}}}
\]

Теперь рассчитаем массу льда:

\[
m_{\text{льд}} = V_{\text{льд}} \cdot p_{\text{льд}}
\]

Теперь, получив все необходимые величины, мы можем рассчитать количество теплоты, которое должно быть передано от свинца к льду:

\[
Q = m_{\text{свинец}} \cdot c_{\text{свинец}} \cdot \Delta T + m_{\text{льд}} \cdot c_{\text{льд}} \cdot \Delta T
\]

Подставим все значения:

\[
Q = (V_{\text{свинец}} \cdot p_{\text{свинец}}) \cdot c_{\text{свинец}} \cdot \Delta T + (V_{\text{льд}} \cdot p_{\text{льд}}) \cdot c_{\text{льд}} \cdot \Delta T
\]

Шаг 2: Рассчитаем объем лунки:

\[
V_{\text{лунка}} = V - V_{\text{льд}}
\]

Подставим значения:

\[
V_{\text{лунка}} = 100 \, \text{см³} - V_{\text{льд}}
\]

Теперь у нас есть все необходимые формулы и значения для решения данной задачи. Давайте сначала рассчитаем массу свинца \(m_{\text{свинец}}\):

\[
V_{\text{свинец}} = \frac{m_{\text{свинец}}}{p_{\text{свинец}}} = \frac{1000 \, \text{г}}{11,34 \, \text{г/см³}} \approx 88,14 \, \text{см³}
\]

Теперь рассчитаем массу льда \(m_{\text{льд}}\):

\[
m_{\text{льд}} = V_{\text{льд}} \cdot p_{\text{льд}} = V_{\text{свинец}} \cdot p_{\text{свинец}} = 88,14 \, \text{см³} \cdot 0,92 \, \text{г/см³} \approx 81,11 \, \text{г}
\]

Теперь рассчитаем количество теплоты \(Q\):

\[
Q = (V_{\text{свинец}} \cdot p_{\text{свинец}}) \cdot c_{\text{свинец}} \cdot \Delta T + (V_{\text{льд}} \cdot p_{\text{льд}}) \cdot c_{\text{льд}} \cdot \Delta T
\]

Подставим значения:

\[
Q = (88,14 \, \text{см³} \cdot 11,34 \, \text{г/см³}) \cdot 0,13 \, \text{Дж/град} \cdot \text{С} \cdot (327 - 0) + (81,11 \, \text{г} \cdot 2,108 \, \text{Дж/град} \cdot \text{С}) \cdot (327 - 0)
\]

Теперь выполняем все вычисления:

\[
Q = 1052,44 \, \text{Дж} + 54060,49 \, \text{Дж} = 55112,93 \, \text{Дж}
\]

Наконец, рассчитаем объем лунки \(V_{\text{лунка}}\):

\[
V_{\text{лунка}} = V - V_{\text{льд}} = 100 \, \text{см³} - 88,14 \, \text{см³} \approx 11,86 \, \text{см³}
\]

Таким образом, объем лунки, свободной от воды и свинца, после установления теплового равновесия, составит около 11,86 см³.