Какой будет объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 см и 11 см вокруг прямой

Kosmicheskaya_Zvezda_7124

61

Для решения этой задачи вам понадобится применить формулу для объема тела вращения, полученного при вращении фигуры вокруг оси.

Сначала определим формулу объема тела вращения. Если прямоугольник вращается вокруг оси, находящейся на расстоянии \( h \) от одной из его сторон, то объем тела вращения можно вычислить по формуле:

\[ V = \pi \int_a^b (R(x))^2 dx \]

где:
- \( V \) - объем тела вращения,
- \( \pi \) - число пи (приближенное значение 3,14),
- \( a \) и \( b \) - границы прямоугольника,
- \( R(x) \) - расстояние от точки на границе прямоугольника до оси вращения (в данном случае, расстояние от точки до оси вращения равно \( h \)).

В нашем случае, стороны прямоугольника равны 1 см и 11 см, а ось вращения находится на расстоянии 2 см от большей стороны.

Теперь рассмотрим особенности данной задачи. Поскольку ось вращения находится на расстоянии 2 см от одной из сторон, то границы интегрирования \( a \) и \( b \) будут зависеть от того, вокруг какой стороны вращается прямоугольник. В нашем случае, прямоугольник вращается вокруг стороны, равной 11 см, поэтому \( a = 0 \) и \( b = 11 \).

Теперь можем подставить значения в формулу и вычислить объем тела вращения:

\[ V = \pi \int_0^{11} (2 + x)^2 dx \]

Выполним интегрирование:

\[ V = \pi \left[\frac{{(2 + x)^3}}{3}\right]_0^{11} = \pi \left(\frac{{(2 + 11)^3}}{3} - \frac{{(2 + 0)^3}}{3}\right) \]

Упростим это выражение:

\[ V = \pi \left(\frac{{13^3}}{3} - \frac{{2^3}}{3}\right) = \pi \left(\frac{{2197}}{3} - \frac{{8}}{3}\right) \]

Теперь вычислим ответ:

\[ V = \pi \left(\frac{{2189}}{3}\right) \approx 2326.74 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 см и 11 см вокруг прямой, находящейся на расстоянии 2 см от большей стороны, составляет примерно 2326.74 кубических сантиметров.