Какой будет радиус окружности с центром в точке А, которая касается данной окружности: а) снаружи; б) внутри?

Мурка_2528

35

Данная задача имеет два разных случая - когда точка касания окружности находится снаружи и когда точка находится внутри. Давайте рассмотрим каждый случай по очереди.

а) Когда точка касания находится снаружи окружности:

Чтобы найти радиус окружности, мы должны использовать свойство касательной. Касательная, проведенная из внешней точки, образует прямой угол с радиусом, и это свойство помогает нам решить эту задачу.

Прилагаю рисунок для наглядности:

\[
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c}
\text{Рисунок}
\end{array} &
\begin{array}{c}
\text{Объяснение}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\\
\circ
\end{array} &
\begin{array}{l}
\text{A - центр окружности} \\
\text{P - точка, снаружи которой} \\
\text{мы строим касательную} \\
\text{PT - касательная,} \\
\text{K - точка касания} \\
\text{r - радиус окружности} \\
\end{array}
\end{array}
\]

Давайте обозначим точку касания как K. Мы знаем, что касательная PT с радиусом OK образует прямой угол. Таким образом, OT - радиус, и его длина равна r. OK является отрезком, соединяющим центр окружности A с точкой касания K. Положим длину отрезка OK равной x.

Согласно теореме Пифагора, в треугольнике AOK, мы можем написать следующее уравнение:

\[OA^2 = OK^2 + KA^2\]

Подставив значения для OA и KA, получим:

\[(r+x)^2 = (r-x)^2 + r^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[r^2 + 2rx + x^2 = r^2 - 2rx + x^2 + r^2\]

Упростим дальше:

\[4rx = 2r^2\]

Разделим обе части уравнения на 2r:

\[2x = r\]

Таким образом, мы видим, что радиус окружности равен удвоенной длине отрезка OK. Учитывая, что отрезок OK равен x, радиус окружности будет равен 2x.

б) Когда точка касания находится внутри окружности:

Снова приведем рисунок для наглядности:

\[
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c}
\text{Рисунок}
\end{array} &
\begin{array}{c}
\text{Объяснение}
\end{array} \\
\begin{array}{c}
\\
\circ
\end{array} &
\begin{array}{l}
\text{A - центр окружности} \\
\text{P - точка, внутри которой} \\
\text{мы строим касательную} \\
\text{PT - касательная,} \\
\text{K - точка касания} \\
\text{r - радиус окружности} \\
\end{array}
\end{array}
\]

Теперь обозначим точку касания как K. Мы знаем, что касательная PT образует прямой угол с радиусом, и это свойство поможет нам найти радиус окружности.

Также заметим, что треугольник AOK является равнобедренным треугольником, так как два его радиуса AO и OK равны друг другу.

По определению равнобедренного треугольника, высота, проведенная из вершины A, делит основание OK пополам. Обозначим этот отрезок как x.

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике AOK, мы можем написать следующее уравнение:

\[OA^2 = OK^2 + KA^2\]

Подставив значения для OA и KA, получим:

\[(r-x)^2 = (r+x)^2 + r^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[r^2 - 2rx + x^2 = r^2 + 2rx + x^2 + r^2\]

Упростим дальше:

\[4rx = 0\]

Таким образом, мы видим, что радиус окружности равен нулю, что невозможно. Следовательно, внутри окружности нет точек касания.

Вывод:

а) Если точка касания находится снаружи окружности, то радиус равен удвоенной длине отрезка, соединяющего центр окружности с точкой касания.

б) Если точка касания находится внутри окружности, то радиус окружности равен нулю, и точек касания не существует.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение решения данной задачи поможет вам лучше разобраться в данной теме.