Какой будет радиус окружности с центром в точке А, которая касается данной окружности: а) снаружи; б) внутри?

Мурка_2528

35

Данная задача имеет два разных случая - когда точка касания окружности находится снаружи и когда точка находится внутри. Давайте рассмотрим каждый случай по очереди.

а) Когда точка касания находится снаружи окружности:

Чтобы найти радиус окружности, мы должны использовать свойство касательной. Касательная, проведенная из внешней точки, образует прямой угол с радиусом, и это свойство помогает нам решить эту задачу.

Прилагаю рисунок для наглядности:

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\text{Рисунок}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Объяснение}\end{array}\\ \begin{array}{c}\\ \circ \end{array}& \begin{array}{l}\text{A - центр окружности}\\ \text{P - точка, снаружи которой}\\ \text{мы строим касательную}\\ \text{PT - касательная,}\\ \text{K - точка касания}\\ \text{r - радиус окружности}\end{array}\end{array}$$

Давайте обозначим точку касания как K. Мы знаем, что касательная PT с радиусом OK образует прямой угол. Таким образом, OT - радиус, и его длина равна r. OK является отрезком, соединяющим центр окружности A с точкой касания K. Положим длину отрезка OK равной x.

Согласно теореме Пифагора, в треугольнике AOK, мы можем написать следующее уравнение:

$$O{A}^2=O{K}^2+K{A}^2$$

Подставив значения для OA и KA, получим:

$$(r+x{)}^2=(r-x{)}^2+r^2$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$r^2+2rx+x^2=r^2-2rx+x^2+r^2$$

Упростим дальше:

$$4rx=2r^2$$

Разделим обе части уравнения на 2r:

$$2x=r$$

Таким образом, мы видим, что радиус окружности равен удвоенной длине отрезка OK. Учитывая, что отрезок OK равен x, радиус окружности будет равен 2x.

б) Когда точка касания находится внутри окружности:

Снова приведем рисунок для наглядности:

$$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\text{Рисунок}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Объяснение}\end{array}\\ \begin{array}{c}\\ \circ \end{array}& \begin{array}{l}\text{A - центр окружности}\\ \text{P - точка, внутри которой}\\ \text{мы строим касательную}\\ \text{PT - касательная,}\\ \text{K - точка касания}\\ \text{r - радиус окружности}\end{array}\end{array}$$

Теперь обозначим точку касания как K. Мы знаем, что касательная PT образует прямой угол с радиусом, и это свойство поможет нам найти радиус окружности.

Также заметим, что треугольник AOK является равнобедренным треугольником, так как два его радиуса AO и OK равны друг другу.

По определению равнобедренного треугольника, высота, проведенная из вершины A, делит основание OK пополам. Обозначим этот отрезок как x.

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике AOK, мы можем написать следующее уравнение:

$$O{A}^2=O{K}^2+K{A}^2$$

Подставив значения для OA и KA, получим:

$$(r-x{)}^2=(r+x{)}^2+r^2$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$r^2-2rx+x^2=r^2+2rx+x^2+r^2$$

Упростим дальше:

$$4rx=0$$

Таким образом, мы видим, что радиус окружности равен нулю, что невозможно. Следовательно, внутри окружности нет точек касания.

Вывод:

а) Если точка касания находится снаружи окружности, то радиус равен удвоенной длине отрезка, соединяющего центр окружности с точкой касания.

б) Если точка касания находится внутри окружности, то радиус окружности равен нулю, и точек касания не существует.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение решения данной задачи поможет вам лучше разобраться в данной теме.