Какой будет угол поворота диска, чтобы угол между вектором полного ускорения и радиусом диска составил 45°, если диск

Ледяной_Огонь

17

Чтобы решить эту задачу, нам нужно установить соотношение между угловой скоростью вращения диска и его угловым ускорением. Для начала найдем угловую скорость диска и угловое ускорение.

Угловая скорость диска \(\omega\) определяется как производная угловой координаты \(\varphi\) по времени \(t\):
\[ \omega = \dfrac{d\varphi}{dt} = 12t^2. \]

Угловое ускорение диска \(\alpha\) определяется как производная угловой скорости \(\omega\) по времени \(t\):
\[ \alpha = \dfrac{d\omega}{dt} = 24t. \]

Теперь мы знаем, что угол между вектором полного ускорения и радиусом диска составляет 45°. Этот угол образуется между радиусом диска и вектором суммарного ускорения, который направлен по касательной к траектории движения точки. Следовательно, ускорение тела можно разделить на две компоненты: радиальную и тангенциальную. Углол поворота диска можно найти из уравнения
\[ \tan \alpha = \dfrac{a_t}{a_r}, \]
где \(\alpha = 45^\circ\), \(a_t = R\alpha\), \(a_r = R\omega^2\), \(R = 10\) см.

Подставим в выражение:
\[ \tan 45^\circ = \dfrac{10*24t}{10*(12t^2)^2}. \]

Упростим:
\[ 1 = \dfrac{24t}{120t^2}, \]
\[ t = 5 \, c. \]

Теперь найдем угол поворота диска при \(t = 5\, c\):
\[ \varphi = 2 + 4*(5)^3 = 502 \, рад. \]

Таким образом, чтобы угол между вектором полного ускорения и радиусом диска составил 45°, диск должен совершить поворот на 502 радиана.