Какая длина волны Lm соответствует максимальной спектральной плотности энергетической светимости (ML,T)max черного

Solnce_Nad_Okeanom

25

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу Вина для нахождения длины волны, соответствующей максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела (ML,T)max.

Формула Вина выглядит следующим образом:

\[(ML,T)max = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}\]

Где:

(ML,T)max - максимальная спектральная плотность энергетической светимости черного тела,
\(\lambda\) - длина волны,
h - постоянная Планка (\(6.62607015 \times 10^{-34}\) Дж·с),
c - скорость света (\(299 792 458\) м/c),
k - постоянная Больцмана (\(1.380649 \times 10^{-23}\) Дж/К),
T - температура абсолютная (в Кельвинах).

Нам дана максимальная спектральная плотность энергетической светимости черного тела, равная \(4,16 \times 10^{11}\) (Вт/м²)/м. Мы хотим найти длину волны \(\lambda\), соответствующую этой максимальной плотности.

Для начала, давайте переформулируем нашу формулу, чтобы изолировать \(\lambda\):

\(\frac{2hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} = (ML,T)max\)

Перенесем (\(e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1\) на другую сторону уравнения:

\(\frac{2hc^2}{(ML,T)max} = \lambda^5 \cdot (e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1)\)

Разделим обе части уравнения на \(\lambda^5\):

\(\frac{2hc^2}{\lambda^5 \cdot (ML,T)max} = e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1\)

И добавим 1 к обеим сторонам:

\[1 + \frac{2hc^2}{\lambda^5 \cdot (ML,T)max} = e^{\frac{hc}{\lambda kT}}\]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\ln \left(1 + \frac{2hc^2}{\lambda^5 \cdot (ML,T)max}\right) = \frac{hc}{\lambda kT}\]

Мы хотим изолировать \(\lambda\) в этом уравнении, поэтому давайте перенесем х на другую сторону:

\[\frac{hc}{\lambda kT} = \ln \left(1 + \frac{2hc^2}{\lambda^5 \cdot (ML,T)max}\right)\]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(\lambda kT\):

\[hc = \lambda kT \cdot \ln \left(1 + \frac{2hc^2}{\lambda^5 \cdot (ML,T)max}\right)\]

И, наконец, разделим обе стороны уравнения на \(kT\):

\[\lambda = \left(\frac{hc}{kT \cdot \ln \left(1 + \frac{2hc^2}{\lambda^5 \cdot (ML,T)max}\right)}\right)^{\frac{1}{5}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения в эту формулу и вычислить длину волны \(\lambda\).