Какой будет высота, на которую поднимутся вагоны после удара на железнодорожной станции, если первый вагон массой

Vladimir_917

26

Для решения этой задачи, мы можем использовать закон сохранения импульса. Импульс - это векторная величина, равная произведению массы на скорость: \(p = m \cdot v\), где \(p\) - импульс, \(m\) - масса, \(v\) - скорость.

Сначала найдем импульс первого вагона до столкновения. Масса первого вагона \(m_1 = 60 \,т = 60000 \,кг\), а его скорость \(v_1 = 4 \,м/с\). Соответственно, импульс первого вагона до столкновения будет равен:
\[p_1 = m_1 \cdot v_1 = 60000 \,кг \cdot 4 \,м/с = 240000 \,кг \cdot м/с.\]

Второй вагон неподвижен, поэтому его импульс до столкновения \(p_2\) будет равен нулю.

После столкновения вагонов происходит передача импульса. Используя закон сохранения импульса, мы можем записать:
\[p_1 + p_2 = p_1" + p_2",\]
где индексы \(1\) и \(2\) относятся к первому и второму вагонам соответственно, а штрихи обозначают импульсы после столкновения.

После столкновения вагонов они начинают вкатываться на сортировочную горку. Так как в этой задаче мы пренебрегаем силой сопротивления движению, то сохраняется только горизонтальная составляющая импульса, а вертикальная импульса нет. Следовательно, по закону сохранения импульса можно записать следующее:
\[p_1" + p_2" = p_1"_{\text{гор}} + p_2"_{\text{гор}},\]
где индексы \(\text{гор}\) относятся к горизонтальной составляющей импульса.

Найдем горизонтальную составляющую импульса первого вагона после столкновения. В исходной системе отсчета горизонтальная составляющая импульса первого вагона равна:
\[p_1"_{\text{гор}} = p_1 \cos(\alpha),\]
где \(\alpha\) - угол между вектором импульса и горизонталью. В данной задаче столкновение происходит на горизонтальной поверхности, следовательно, угол \(\alpha = 0^{\circ}\), и \(\cos(0^{\circ}) = 1\). Таким образом,
\[p_1"_{\text{гор}} = p_1 \cdot 1 = p_1.\]

Аналогично, для второго вагона после столкновения горизонтальная составляющая импульса будет:
\[p_2"_{\text{гор}} = p_2 \cos(\beta),\]
где \(\beta\) - угол между вектором импульса и горизонталью (в данной задаче \(\beta = 0^{\circ}\)).

Так как второй вагон неподвижен, его горизонтальная составляющая импульса после столкновения равна нулю: \(p_2"_{\text{гор}} = 0\).

Используя эти данные, закон сохранения импульса после столкновения вагонов принимает вид:
\[p_1" = p_1.\]

Таким образом, горизонтальная составляющая импульса первого вагона после столкновения равна импульсу, который он имел до столкновения.

По формуле для импульса \(p = m \cdot v\), найдем скорость первого вагона после столкновения:
\[v_1" = \frac{{p_1"}}{{m_1}} = \frac{{p_1}}{{m_1}}.\]

Подставляя значения, получаем:
\[v_1" = \frac{{240000 \,кг \cdot м/с}}{{60000 \,кг}} = 4 \,м/с.\]

Таким образом, скорость первого вагона после столкновения остается неизменной и равна \(4 \,м/с\).

Теперь мы можем рассмотреть движение вагонов по сортировочной горке. В самом начале движения (т.е. когда вагоны только начали вкатываться на горку), их кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию, причем сохраняется механическая энергия системы. Механическая энергия - это сумма кинетической и потенциальной энергий.

С учетом этого, мы можем записать:
\[E_{\text{kin}_1} + E_{\text{kin}_2} = E_{\text{pot}_1} + E_{\text{pot}_2},\]
где индексы \(\text{kin}\) и \(\text{pot}\) относятся к кинетической и потенциальной энергиям соответственно.

Изначально первый вагон двигается со скоростью \(v_1" = 4 \,м/с\). Его кинетическая энергия будет равна:
\[E_{\text{kin}_1} = \frac{1}{2}m_1(v_1")^2.\]

Второй вагон неподвижен, поэтому его кинетическая энергия равна нулю: \(E_{\text{kin}_2} = 0\).

Когда вагоны поднимаются на высоту \(h\), их потенциальная энергия будет равна:
\[E_{\text{pot}_1} = m_1 \cdot g \cdot h,\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, равное приближенно \(9.8 \,м/с^2\).

Второй вагон также имеет потенциальную энергию: \(E_{\text{pot}_2} = m_2 \cdot g \cdot h\), где \(m_2\) - масса второго вагона.

Таким образом, уравнение для сохранения механической энергии системы принимает вид:
\[\frac{1}{2}m_1(v_1")^2 + 0 = m_1 \cdot g \cdot h + m_2 \cdot g \cdot h.\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[\frac{1}{2}(v_1")^2 = g \cdot h \cdot (m_1 + m_2).\]

Теперь мы можем найти высоту \(h\), на которую поднимутся вагоны после удара.

\[h = \frac{\frac{1}{2}(v_1")^2}{g \cdot (m_1 + m_2)} = \frac{\frac{1}{2}(4 \,м/с)^2}{9.8 \,м/с^2 \cdot (60000 \,кг + 30000 \,кг)} \approx 0.020 \,м \approx 2 \,см.\]

Таким образом, высота, на которую поднимутся вагоны после удара на железнодорожной станции, составляет приблизительно 2 см.