Какой цвет будет последней перчаткой, оставшейся в мешке после всех действий?

Морозная_Роза_2808

32

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся в действиях, происходящих с перчатками в мешке.

Предположим, что у нас в мешке есть \( n \) перчаток в двух цветах: \( A \) и \( B \). Когда мы выбираем две перчатки из мешка, есть две возможности:

1. Если выбранные перчатки имеют одинаковый цвет (например, \( AA \) или \( BB \)), то мы кладем обратно в мешок одну из них.
2. Если выбранные перчатки имеют разные цвета (например, \( AB \)), то мы выкидываем обе перчатки из мешка.

Мы продолжаем эти действия, пока в мешке не останется только одна перчатка.

Теперь рассмотрим некоторые случаи с разными начальными количествами перчаток:

1. Если у нас изначально в мешке есть только одна перчатка каждого цвета (\( n = 2 \)), то последняя перчатка будет того же цвета, что и первая. Например, если мы начинаем с перчаток \( AB \), то последняя перчатка будет \( A \).
2. Если у нас изначально в мешке есть 3 перчатки каждого цвета (\( n = 6 \)), то последняя перчатка будет того же цвета, что и первая. Это происходит потому, что независимо от того, как мы выбираем и сортируем перчатки при каждом шаге, в конечном итоге мы будем каждый раз получать одну пару перчаток, которую будем выкидывать. Оставшаяся перчатка в конце будет иметь тот же цвет, что и первая перчатка.
3. Если у нас изначально в мешке есть любое другое четное количество перчаток каждого цвета (\( n > 2 \) и \( n \) - четное), то последняя перчатка также будет того же цвета, что и первая.

Таким образом, если в мешке всего \( n \) перчаток, и \( n \) - нечетное число, последняя перчатка будет иметь противоположный цвет по сравнению с первой перчаткой.

Пожалуйста, обратите внимание, что в этом решении я предположил, что в мешке изначально есть равное количество перчаток каждого цвета и мы выбираем их случайным образом. Задача не описывает других ограничений или дополнительных условий, поэтому я опираюсь на эти предположения.