Какой должен быть максимальный модуль угловой скорости вращения диска, чтобы шайба не соскальзывала с него? Шайба лежит

Як

56

Чтобы понять, какой должен быть максимальный модуль угловой скорости вращения диска, чтобы шайба не соскальзывала с него, мы можем использовать понятие центростремительной силы и коэффициента трения.

Для начала, давайте рассмотрим силы, действующие на шайбу. У нас есть две силы: сила трения и центростремительная сила.
Сила трения действует в направлении, препятствующем соскальзыванию шайбы, и определяется формулой:
\[ F_{\text{трения}} = \mu \cdot N \]
где \( \mu \) - коэффициент трения, а \( N \) - нормальная сила, равная весу шайбы.

Центростремительная сила действует в направлении от центра вращения к краю диска и определяется формулой:
\[ F_{\text{центростр.}} = m \cdot R \cdot \omega^2 \]
где \( m \) - масса шайбы, \( R \) - расстояние от центра вращения до шайбы, а \( \omega \) - угловая скорость вращения диска.

Чтобы шайба не соскальзывала с диска, сила трения должна быть больше или равна центростремительной силе:
\[ F_{\text{трения}} \geq F_{\text{центростр.}} \]

Подставим значения и упростим неравенство:
\[ \mu \cdot N \geq m \cdot R \cdot \omega^2 \]

Распишем выражение для нормальной силы \( N \). Нормальная сила равна весу шайбы, так как шайба лежит на горизонтальной поверхности диска. Вес шайбы определяется формулой:
\[ N = m \cdot g \]
где \( g \) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с²).

Подставим это значение в неравенство:
\[ \mu \cdot m \cdot g \geq m \cdot R \cdot \omega^2 \]

Теперь упростим выражение, сокращая массу шайбы:
\[ \mu \cdot g \geq R \cdot \omega^2 \]

Наконец, выразим угловую скорость вращения диска:
\[ \omega^2 \leq \frac{{\mu \cdot g}}{{R}} \]

Для того чтобы шайба не соскальзывала с диска, максимальный модуль угловой скорости будет равен:
\[ \omega_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{{\mu \cdot g}}{{R}}} \]

Теперь, подставляя известные значения коэффициента трения (\( \mu = 0.25 \)) и расстояния (\( R = 0.1 \)), мы можем рассчитать максимальный модуль угловой скорости:
\[ \omega_{\text{макс}} = \sqrt{\frac{{0.25 \cdot 9.8}}{{0.1}}} \approx 4.95 \, \text{рад/с} \]

То есть, чтобы шайба не соскальзывала с диска, максимальный модуль угловой скорости вращения диска должен быть примерно равен 4.95 радиан в секунду.