Какой должен быть наименьший радиус циклотрона, чтобы ускорить протоны до кинетической энергии 8*10^-13 дж, если

Rys

43

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы электромагнетизма и кинематики. Для начала вычислим необходимую скорость протона, чтобы затем определить радиус циклотрона.

Формула для кинетической энергии протона:

\[K = \frac{1}{2} m v^2\]

где \(K\) - кинетическая энергия, \(m\) - масса протона, \(v\) - скорость протона.

Мы знаем, что кинетическая энергия протона равна 8 * 10^-13 Дж, а масса протона составляет 1,67 * 10^-27 кг. Подставим эти значения в формулу:

\[8 \cdot 10^{-13} = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \cdot v^2\]

Далее решим уравнение относительно скорости \(v\):

\[v^2 = \frac{8 \cdot 10^{-13}}{\frac{1}{2} \cdot 1,67 \cdot 10^{-27}}\]

Вычислим значения в скобках:

\[\frac{1}{2} \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} = 8,35 \cdot 10^{-28}\]

Подставим это значение в уравнение:

\[v^2 = \frac{8 \cdot 10^{-13}}{8,35 \cdot 10^{-28}}\]

Теперь найдем значение скорости \(v\):

\[v^2 \approx 9,64 \cdot 10^{14}\]

Чтобы ускорить протон в циклотроне, необходимо приложить к нему перпендикулярную к его скорости силу. Сила Лоренца \(F\) задается следующей формулой:

\[F = qvB\]

где \(q\) - заряд протона, \(B\) - индукция магнитного поля.

Заряд протона \(q\) составляет 1,6 * 10^-19 Кл. Подставим значения в формулу:

\[F = (1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot v \cdot 0,26\]

Теперь мы можем выразить силу как центростремительную силу:

\[F = \frac{mv^2}{r}\]

где \(m\) - масса протона, \(r\) - радиус циклотрона.

Приравниваем два выражения для силы:

\[\frac{mv^2}{r} = (1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot v \cdot 0,26\]

Отсюда получаем формулу для радиуса:

\[r = \frac{mv}{(1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot 0,26}\]

Для нахождения радиуса подставим известные значения:

\[r = \frac{(1,67 \cdot 10^{-27}) \cdot \sqrt{9,64 \cdot 10^{14}}}{(1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot 0,26}\]

Теперь вычислим значение:

\[r \approx 0,135 \, \text{м}\]

Таким образом, чтобы ускорить протоны до кинетической энергии 8*10^-13 Дж при индукции магнитного поля 0,26 Тл, необходимо использовать циклотрон с радиусом примерно 0,135 метра.