Какой градиент у функции z=7x^2+2y^3 в точке (0;-2)? Варианты ответа: a. -2i b. 2j c. I-2j

Мистическая_Феникс

24

Для начала, нам нужно вычислить градиент функции z=7x^2+2y^3. Градиент - это вектор, который указывает направление наибольшего возрастания функции в каждой точке. Градиент выражается через частные производные функции по каждой переменной.

Чтобы найти градиент данной функции, посчитаем частные производные по x и y:

\[\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 14x\]
\[\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 6y^2\]

Зная частные производные, мы можем вычислить градиент:

\[\nabla z = \frac{{\partial z}}{{\partial x}}\mathbf{i} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\mathbf{j} = 14x\mathbf{i} + 6y^2\mathbf{j}\]

Теперь мы можем найти градиент в точке (0;-2) подставив значения переменных в найденное выражение:

\[\nabla z(0;-2) = 14\cdot 0\mathbf{i} + 6(-2)^2\mathbf{j} = 0\mathbf{i} + 24\mathbf{j} = 24\mathbf{j}\]

Ответ: градиент функции z=7x^2+2y^3 в точке (0;-2) равен 24j, где j - единичный вектор, указывающий вдоль оси y.

Таким образом, правильный вариант ответа - b. 2j.