Какой ход Петя сделает первым, чтобы сохранить возможность выиграть независимо от ходов Васи? Из какой кучи и сколько
Какой ход Петя сделает первым, чтобы сохранить возможность выиграть независимо от ходов Васи? Из какой кучи и сколько камешков он должен взять?
Яблонька 65
Данная задача является вариацией игры в ним. Для её решения рассмотрим возможные варианты и ходы.Пусть у нас есть две кучи камней: куча A с \(a\) камнями и куча B с \(b\) камнями. Пусть предыдущий ход сделал Вася.
1. Если Вася сделал ход и взял \(x\) камней из кучи A, то Петя должен взять \(a-x\) камней из кучи A, чтобы общее количество камней в ней стало \(x\). Таким образом, Петя сделает такой ход, чтобы оставить Васю с \(x\) камнями в куче A.
2. Если Вася сделал ход и взял \(y\) камней из кучи B, то Петя должен взять \(b-y\) камней из кучи B, чтобы общее количество камней в ней стало \(y\). Таким образом, Петя сделает такой ход, чтобы оставить Васю с \(y\) камнями в куче B.
3. Если Вася сделал ход и взял \(z\) камней из обеих куч одновременно, то Петя сделает такой ход, чтобы оставить Васю с \(z\) камнями в каждой куче.
Теперь рассмотрим все возможные комбинации ходов:
1. Если Вася взял камни только из кучи A и Петя оставляет его с одним камнем в куче A, то общее количество камней в куче B не имеет значения для выигрыша. Если Вася хочет выиграть, он должен сделать так, чтобы Петя в следующем ходе не мог взять все камни из кучи A.
2. Если Вася взял камни только из кучи B и Петя оставляет его с одним камнем в куче B, то общее количество камней в куче A не имеет значения для выигрыша. Если Вася хочет выиграть, он должен сделать так, чтобы Петя в следующем ходе не мог взять все камни из кучи B.
3. Если Вася взял камни из обеих куч одновременно и Петя оставляет его с одним камнем в каждой куче, то общее количество камней в кучах не имеет значения для выигрыша. Если Вася хочет выиграть, он должен сделать так, чтобы Петя в следующем ходе не мог взять все камни из обеих куч одновременно.
Таким образом, чтобы сохранить возможность выигрыша независимо от ходов Васи, Петя должен сделать первый ход, чтобы общее количество камней в каждой куче стало равным одному. Обратите внимание, что для решения этой задачи значения \(a\) и \(b\) не имеют значения, так как мы стремимся обеспечить ситуацию, в которой Петя всегда может ответить на ход Васи таким образом, чтобы оставить Васю с одним камнем в каждой куче.