Какой из углов в треугольнике ABC будет наибольшим, если AB = 4√7, BC = 5√3, и C = 58°?

Irina

37

Чтобы определить наибольший угол треугольника ABC, мы можем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит: в треугольнике с сторонами \( a \), \( b \) и \( c \) и противоположными углами \( A \), \( B \) и \( C \) соответственно, квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон и косинуса противолежащего угла:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Мы знаем, что сторона \( AB \) равна \( 4\sqrt{7} \), сторона \( BC \) равна \( 5\sqrt{3} \) и угол \( C \) равен \( 58^\circ \). Давайте подставим эти значения в теорему косинусов:

\[ (5\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{7})^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2(4\sqrt{7})(5\sqrt{3}) \cdot \cos(58^\circ) \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ 75 = 112 + 75 - 40\sqrt{21} \cdot \cos(58^\circ) \]

\[ 75 - 112 - 75 = -40\sqrt{21} \cdot \cos(58^\circ) \]

\[ -112 = -40\sqrt{21} \cdot \cos(58^\circ) \]

Теперь нам нужно найти значение косинуса \( \cos(58^\circ) \). Мы можем использовать тригонометрическую таблицу или калькулятор, чтобы найти это значение. Округлим его до 2 знаков после запятой:

\( \cos(58^\circ) \approx 0.55 \)

Подставим значение косинуса обратно в уравнение:

\[ -112 = -40\sqrt{21} \cdot 0.55 \]

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение \( \sqrt{21} \):

\[ \sqrt{21} \approx \frac{-112}{-40 \cdot 0.55} \approx 4.89 \]

Используя значение \( \sqrt{21} \), мы можем найти длины сторон:

\[ AB = 4\sqrt{7} \approx 4 \cdot 2.65 \approx 10.60 \]
\[ BC = 5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.73 \approx 8.66 \]

Теперь можно использовать тригонометрический закон синусов для нахождения углов треугольника. Этот закон утверждает, что для треугольника со сторонами \( a \), \( b \) и \( c \) и противолежащими углами \( A \), \( B \) и \( C \) соответственно, отношение синуса угла к стороне, противолежащей этому углу, является постоянным:

\[ \frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c} \]

Мы уже знаем значения сторон \( AB \) и \( BC \). Положим \( AC = x \). Мы также можем найти угол \( A \) с помощью следующего уравнения:

\[ \frac{\sin(A)}{AB} = \frac{\sin(C)}{BC} \]

\[ \frac{\sin(A)}{10.60} = \frac{\sin(58^\circ)}{8.66} \]

Решим это уравнение:

\[ \sin(A) = \frac{10.60 \cdot \sin(58^\circ)}{8.66} \approx 0.91 \]

Теперь найдем \( A \) в градусах, используя обратный синус:

\[ A \approx \sin^{-1}(0.91) \approx 65^\circ \]

Таким образом, наибольший угол треугольника ABC равен примерно \( 65^\circ \).