Какой коэффициент при x^3 имеет биномиальное разложение (4-2x)^4?

Yahont

28

Чтобы найти коэффициент при \(x^3\) в биномиальном разложении \((4-2x)^4\), нам понадобятся комбинаторика и формула бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона гласит:

\[(a + b)^n = \binom{n}{0} \cdot a^n \cdot b^0 + \binom{n}{1} \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + \binom{n}{2} \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + \binom{n}{n} \cdot a^0 \cdot b^n\]

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) - факториал числа \(n\).

В нашем случае, у нас \(a = 4\), \(b = -2x\) и \(n = 4\). Мы хотим найти коэффициент при \(x^3\), поэтому \(k = 1\) (так как \(k\) указывает на степень \(b\) в каждом слагаемом).

Теперь подставим значения в формулу бинома Ньютона и вычислим требуемый коэффициент:

\[\binom{4}{1} \cdot 4^{4-1} \cdot (-2x)^1 = 4 \cdot 4^3 \cdot (-2x) = 64 \cdot 4 \cdot (-2x) = -512x\]

Итак, коэффициент при \(x^3\) в биномиальном разложении \((4-2x)^4\) равен -512.