Докажите, что если у двух окружностей есть общая хорда, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, делит

Пугающий_Шаман

60

Конечно! Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

Предположим, у нас есть две окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\), и они имеют общую хорду \(AB\) (см. рисунок ниже).

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=above:$O_1$] (O1) at (0,0);
\coordinate[label=above:$O_2$] (O2) at (4,0);
\coordinate[label=above:$A$] (A) at (3,2);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (3,-2);
\draw (O1) circle [radius=2cm];
\draw (O2) circle [radius=2cm];
\draw (A) -- (B);
\draw (O1) -- (O2);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Нам нужно доказать, что линия, проходящая через центры этих окружностей, делит хорду \(AB\) пополам (то есть, точка пересечения линии с хордой будет ее серединой).

Для начала, рассмотрим треугольники \(O_1AB\) и \(O_2AB\). Поскольку оба треугольника имеют одну и ту же сторону \(AB\) и стороны \(O_1A = O_2A\) и \(O_1B = O_2B\) (строим равные радиусы), по теореме о равенстве треугольников эти треугольники будут равными.

Также из равенства треугольников следует, что углы \(\angle O_1AB\) и \(\angle O_2AB\) будут равными, поскольку им соответствуют равные стороны \(O_1A = O_2A\) и \(O_1B = O_2B\).

Теперь рассмотрим треугольники \(O_1AO_2\) и \(O_1BO_2\). У этих треугольников также существует одна общая сторона \(O_1O_2\), а углы \(\angle O_1AO_2\) и \(\angle O_1BO_2\) равны, так как они оба равны \(\angle O_1AB\) и \(\angle O_2AB\).

Согласно свойству равных треугольников, сторона, находящаяся напротив равных углов, тоже будет равна. Таким образом, получаем, что сторона \(AB\) делится точкой пересечения линии \(O_1O_2\) пополам, а значит, прямая, проходящая через центры окружностей, делит общую хорду пополам.

Таким образом, мы доказали, что при наличии общей хорды у двух окружностей, прямая, проходящая через центры этих окружностей, делит эту хорду пополам.