Какой коэффициент у одночлена х в выражении (2а-b)^6 х=а³?

Valentinovich

42

Для начала, давайте разберемся с понятием одночлена. Одночлен - это выражение, состоящее из одной переменной, умноженной на некоторое число. В вашем случае, одночленом является "х".

Теперь перейдем к выражению (2а - b)^6. Здесь мы имеем две переменные: "a" и "b", а также число 2. Знак "^" обозначает возведение в степень. В данном случае, выражение (2а - b)^6 означает, что мы должны возвести выражение (2а - b) в шестую степень.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо раскрыть скобки и упростить выражение (2а - b)^6. Для этого мы можем воспользоваться биномом Ньютона, который позволяет раскрыть скобки в степени.

Бином Ньютона имеет следующий вид:
\((a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + ... + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\),

где \(\binom{n}{k}\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\).

В нашем случае, у нас \(n = 6\), \(a = 2a\) и \(b = -b\). Теперь мы можем воспользоваться биномом Ньютона для раскрытия скобок:

\((2a - b)^6 = \binom{6}{0}(2a)^6 (-b)^0 + \binom{6}{1}(2a)^5(-b)^1 + \binom{6}{2}(2a)^4(-b)^2 + \binom{6}{3}(2a)^3(-b)^3 + \binom{6}{4}(2a)^2(-b)^4 + \binom{6}{5}(2a)^1(-b)^5 + \binom{6}{6}(2a)^0(-b)^6\).

Давайте теперь посчитаем каждый из этих слагаемых:

\(\binom{6}{0}(2a)^6 (-b)^0 = 1 \times (2a)^6 \times 1 = (2a)^6 = 64a^6\),

\(\binom{6}{1}(2a)^5(-b)^1 = 6 \times (2a)^5 \times (-b) = -192a^5b\),

\(\binom{6}{2}(2a)^4(-b)^2 = 15 \times (2a)^4 \times (-b)^2 = 240a^4b^2\),

\(\binom{6}{3}(2a)^3(-b)^3 = 20 \times (2a)^3 \times (-b)^3 = -160a^3b^3\),

\(\binom{6}{4}(2a)^2(-b)^4 = 15 \times (2a)^2 \times (-b)^4 = 240a^2b^4\),

\(\binom{6}{5}(2a)^1(-b)^5 = 6 \times (2a)^1 \times (-b)^5 = -192ab^5\),

\(\binom{6}{6}(2a)^0(-b)^6 = 1 \times (2a)^0 \times (-b)^6 = (-b)^6 = b^6\).

Теперь мы можем записать раскрытое выражение (2а - b)^6:

\((2a - b)^6 = 64a^6 - 192a^5b + 240a^4b^2 - 160a^3b^3 + 240a^2b^4 - 192ab^5 + b^6\).

Коэффициент при одночлене "х" в данном выражении равен -192. Таким образом, ответ на задачу "Какой коэффициент у одночлена х в выражении (2а - b)^6 х = а³?" равен -192.