Какой коэффициент у одночлена х в выражении (2а-b)^6 х=а³?

Turandot

45

Хорошо, давайте разберем эту задачу по шагам. Нам нужно найти коэффициент при одночлене \(x\) в выражении \((2a-b)^6\) при условии, что \(x = a^3\).

Шаг 1: Разложение бинома
Для начала, разложим выражение \((2a-b)^6\) с помощью бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

\[(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + ... + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\]

Где \(\binom{n}{k}\) - это биномиальный коэффициент, равный числу способов выбрать \(k\) элементов из набора из \(n\) элементов.

В нашем случае, у нас \(n = 6\) и \(a = 2a\), \(b = -b\). Мы можем применить формулу бинома Ньютона для раскрытия скобок и получим:

\[(2a - b)^6 = \binom{6}{0}(2a)^6 (-b)^0 + \binom{6}{1}(2a)^5 (-b)^1 + \binom{6}{2}(2a)^4 (-b)^2 + \binom{6}{3}(2a)^3 (-b)^3 + \binom{6}{4}(2a)^2 (-b)^4 + \binom{6}{5}(2a)^1 (-b)^5 + \binom{6}{6}(2a)^0 (-b)^6\]

Шаг 2: Упрощение выражений
Теперь, применим эту формулу и посчитаем каждый одночлен:

\(\binom{6}{0}(2a)^6 (-b)^0 = 1 \cdot (2a)^6 \cdot 1 = (2a)^6\)
\(\binom{6}{1}(2a)^5 (-b)^1 = 6 \cdot (2a)^5 \cdot (-b)\)
\(\binom{6}{2}(2a)^4 (-b)^2 = 15 \cdot (2a)^4 \cdot (-b)^2\)
\(\binom{6}{3}(2a)^3 (-b)^3 = 20 \cdot (2a)^3 \cdot (-b)^3\)
\(\binom{6}{4}(2a)^2 (-b)^4 = 15 \cdot (2a)^2 \cdot (-b)^4\)
\(\binom{6}{5}(2a)^1 (-b)^5 = 6 \cdot (2a)^1 \cdot (-b)^5\)
\(\binom{6}{6}(2a)^0 (-b)^6 = 1 \cdot (2a)^0 \cdot (-b)^6 = (-b)^6\)

Шаг 3: Выражение x в формуле
Теперь, давайте заменим \(x\) в полученном выражении на \(a^3\):

\((2a)^6 + 6 \cdot (2a)^5 \cdot (-b) + 15 \cdot (2a)^4 \cdot (-b)^2 + 20 \cdot (2a)^3 \cdot (-b)^3 + 15 \cdot (2a)^2 \cdot (-b)^4 + 6 \cdot (2a)^1 \cdot (-b)^5 + (-b)^6\)

Теперь мы можем заменить \(a\) на \(a^3\) и \(b\) на \(-b\):

\((2(a^3))^6 + 6 \cdot (2(a^3))^5 \cdot (-(-b)) + 15 \cdot (2(a^3))^4 \cdot ((-b)^2) + 20 \cdot (2(a^3))^3 \cdot ((-b)^3) + 15 \cdot (2(a^3))^2 \cdot ((-b)^4) + 6 \cdot (2(a^3))^1 \cdot ((-b)^5) + ((-b)^6)\)

Шаг 4: Упрощение и ответ
Выполним упрощение выражения:

\((2^6 \cdot (a^3)^6) + (6 \cdot 2^5 \cdot (a^3)^5 \cdot b) + (15 \cdot 2^4 \cdot (a^3)^4 \cdot b^2) + (20 \cdot 2^3 \cdot (a^3)^3 \cdot b^3) + (15 \cdot 2^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^4) + (6 \cdot 2 \cdot (a^3) \cdot b^5) + b^6\)

Теперь мы можем заменить \(a^3\) на \(x\):

\((2^6 \cdot x^6) + (6 \cdot 2^5 \cdot x^5 \cdot b) + (15 \cdot 2^4 \cdot x^4 \cdot b^2) + (20 \cdot 2^3 \cdot x^3 \cdot b^3) + (15 \cdot 2^2 \cdot x^2 \cdot b^4) + (6 \cdot 2 \cdot x \cdot b^5) + b^6\)

Итак, коэффициент \(x\) в данном выражении равен \(6 \cdot 2^5 \cdot b\), что эквивалентно \(192b\).

Таким образом, ответ на задачу составляет \(192b\).