Какой корень нужно найти для уравнения (1/8)^1-х=64?

Lyudmila_5764

13

Давайте начнем с решения уравнения. У вас дано уравнение \((1/8)^{1-x}=64\). Чтобы найти корень этого уравнения, мы можем применить логарифмы. Но сначала давайте упростим уравнение.

Используя свойства степени, мы можем записать \((1/8)^{1-x}\) как \((1/8)^1 \cdot (1/8)^{-x}\).

Выразим \((1/8)^1\) как десятичную дробь: \((1/8)^1 = 1/8 = 0.125\).

Теперь у нас есть уравнение \(0.125 \cdot (1/8)^{-x}=64\). Мы также можем упростить \((1/8)^{-x}\) с помощью отрицательной степени.

Когда степень имеет отрицательное значение, мы можем записать \((1/8)^{-x}\) как \((8/1)^x\), так как произведение дробей с отрицательной степенью даст нам положительное значение.

Теперь наше уравнение становится: \(0.125 \cdot (8/1)^x = 64\).

До сих пор мы упростили и преобразовали уравнение, чтобы сделать его более удобным для решения. Теперь приступим к решению уравнения.

Преобразуем наше уравнение \[0.125 \cdot (8/1)^x = 64\] в более компактную форму, записав \((8/1)^x\) как \(8^x\):

\[0.125 \cdot 8^x = 64\].

Теперь мы можем избавиться от десятичной дроби, разделив обе части уравнения на 0.125:

\[8^x = \frac{64}{0.125}\].

Выполняя вычисление на правой стороне уравнения, мы получаем:

\[8^x = 512\].

Теперь наше уравнение сводится к нахождению значения \(x\), при котором \(8^x = 512\).

Мы знаем, что \(8^x = 2^{3x}\), поскольку 8 можно записать как \(2^3\), и использование свойств степени позволяет упростить выражение.

Таким образом, уравнение \(8^x = 2^{3x} = 512\) сводится к уравнению \(2^{3x} = 512\).

Теперь мы можем заметить, что \(512 = 2^9\), то есть мы ищем значение \(x\), при котором \(2^{3x} = 2^9\).

Используя свойства степени и равенства, мы можем записать:

\[3x = 9\].

Теперь остается лишь решить это уравнение относительно \(x\):

\[x = \frac{9}{3} = 3\].

Таким образом, корнем уравнения \((1/8)^{1-x}=64\) является \(x = 3\).