Какой объём будет иметь часть конуса, отсеченная плоскостью, параллельной основанию, если объём всего конуса равен

Skazochnyy_Fakir

57

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать пропорции для определения отношения между объемами.

Для начала, давайте обозначим объем всего конуса как \(V_{\text{к}}\) и пусть \(V_{\text{ч}}\) будет объемом части конуса, отсеченной плоскостью.

Согласно условию, \(V_{\text{к}} = 250\).

Далее, поскольку плоскость параллельна основанию конуса, то геометрические фигуры, образованные этой плоскостью, будут подобными основанию.

Мы знаем, что плоскость проходит через точку, которая делит высоту конуса в отношении 1:4, отсчитываемом от вершины. Значит, отношение высот \(h_{\text{ч}}\) части конуса к высоте \(h_{\text{к}}\) всего конуса равно 1:4.

Обозначим высоту конуса как \(h_{\text{к}}\), а высоту части конуса как \(h_{\text{ч}}\).

Теперь мы можем записать пропорцию: \(\frac{{h_{\text{ч}}}}{{h_{\text{к}}}} = \frac{1}{4}\).

Зная эту пропорцию, мы можем найти высоту части конуса \(h_{\text{ч}}\):

\[h_{\text{ч}} = \frac{1}{4} \cdot h_{\text{к}}\].

Используем описанные пропорции для определения отношения объемов:

\(\frac{{V_{\text{ч}}}}{{V_{\text{к}}}} = \left(\frac{{h_{\text{ч}}}}{{h_{\text{к}}}}\right)^3\).

Подставим полученное значение для \(h_{\text{ч}}\):

\(\frac{{V_{\text{ч}}}}{{250}} = \left(\frac{{\frac{1}{4} \cdot h_{\text{к}}}}{{h_{\text{к}}}}\right)^3\).

Упрощаем выражение:

\(\frac{{V_{\text{ч}}}}{{250}} = \left(\frac{1}{4}\right)^3\).

\(\frac{{V_{\text{ч}}}}{{250}} = \frac{1}{64}\).

Теперь найдем объем части конуса \(V_{\text{ч}}\):

\[V_{\text{ч}} = 250 \cdot \frac{1}{64}\].

Произведем несложные вычисления:

\[V_{\text{ч}} = \frac{250}{64}\].

\[V_{\text{ч}} \approx 3.90625\].

Таким образом, объем части конуса, отсеченной плоскостью, параллельной основанию, составляет около 3.90625 единиц объема.