Какой объем цилиндра, если его боковая поверхность равна 24п, а диаметр его основания - 8? Приложите рисунок

Магия_Леса

39

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно найти объем цилиндра.

Первым шагом будет нахождение радиуса основания цилиндра (r). Диаметр основания равен 8, что значит, что радиус будет равен половине диаметра. То есть, r = 8 / 2 = 4.

На рисунке ниже я поместил цилиндр с его основанием диаметром 8 и боковой поверхностью, которая является прямоугольником с длиной 24п и высотой h.

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\text{Основание цилиндра} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\text{Боковая поверхность} \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти высоту (h) цилиндра, нам нужно знать формулу для боковой поверхности цилиндра, которая равна произведению длины окружности основания (C) на высоту (h):

\[
S_{\text{окр}} = 2\pi r
\]

\[
C = 2\pi r
\]

Так как в задаче говорится, что боковая поверхность цилиндра равна 24п, то:

\[
C = 24п
\]

Подставим значение длины окружности в формулу:

\[
24п = 2\pi r
\]

Теперь можем вычислить радиус:

\[
r = \frac{24\pi}{2\pi}
\]

\[
r = 12
\]

Теперь у нас есть радиус и мы можем вычислить объем цилиндра. Формула для объема цилиндра:

\[
V = \pi r^2 h
\]

Подставим известные значения:

\[
V = \pi \cdot 12^2 \cdot h
\]

Теперь нам нужно найти высоту (h). Мы знаем, что боковая поверхность цилиндра равна 24п. Ранее мы выразили длину окружности через радиус и получили:

\[
C = 2\pi r
\]

\[
24п = 2\pi \cdot 12
\]

Теперь найдем высоту, разделив обе части равенства на \(2 \pi\):

\[
h = \frac{24п}{2\pi \cdot 12}
\]

\[
h = \frac{2п}{\pi}
\]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса и высоты, мы можем найти объем цилиндра, подставив значения в формулу:

\[
V = \pi \cdot 12^2 \cdot \frac{2п}{\pi}
\]

Раскроем возведение в квадрат и упростим формулу:

\[
V = 144 \cdot 2п
\]

\[
V = 288п
\]

Таким образом, объем цилиндра равен 288п.

Я надеюсь, что данное объяснение и рисунок помогли вам понять, как решить эту задачу. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!