Proof of the triangle inequality. Lesson 1 On the extension of side AC of triangle ABC, point K is taken as shown
Proof of the triangle inequality. Lesson 1 On the extension of side AC of triangle ABC, point K is taken as shown in the figure. Prove that KB is greater than AB. Since angle A is adjacent to angle KAB, and angle C in triangle ABC is obtuse, angles A and B are acute. Since angle KAB is obtuse in triangle AKB opposite to side KB, angles K and AB are acute. Therefore, angle KAB is greater than angle K, so KB is greater than AB. Therefore, in the obtuse triangle AKB, angle KAB is obtuse and side AB is opposite to acute angle K. Return Check Found an error on the website? HELP
Morskoy_Skazochnik 42
Чтобы доказать неравенство треугольника, обозначим отрезок \(AK\) как \(x\) и отрезок \(KB\) как \(y\). Мы хотим доказать, что \(y > AB\).Из условия задачи мы знаем, что угол \(A\) примыкает к углу \(KAB\), а угол \(C\) в треугольнике \(ABC\) тупой. Так как углы \(A\) и \(B\) являются острыми, угол \(KAB\) также является острым в треугольнике \(AKB\), так как он является противолежащим углом к стороне \(KB\).
Мы можем использовать неравенство углов треугольника, которое гласит, что сумма любых двух углов треугольника всегда меньше 180 градусов. Таким образом, у нас получается следующее неравенство:
\[
\angle KAB + \angle K + \angle AB < 180^\circ
\]
Заменим углы на их соответствующие величины:
\[
\angle KAB + x + \angle AB < 180^\circ
\]
Так как мы знаем, что углы треугольника \(ABC\) в сумме дают 180 градусов, мы можем заменить угол \(C\) на \(180 - \angle ABC\), получая:
\[
\angle KAB + x + \angle AB < 180^\circ - \angle ABC
\]
Учитывая, что угол \(KAB\) острый в треугольнике \(AKB\), мы можем сказать, что \(\angle KAB > \angle K\):
\[
\angle KAB + x + \angle AB < 180^\circ - \angle ABC \quad \text{(1)}
\]
Теперь посмотрим на треугольник \(ABK\). Угол \(\angle KAB\) является острым углом, поскольку он является противолежащим углом к стороне \(KB\). Следовательно, угол \(\angle K\) в треугольнике \(AKB\) является тупым. Из неравенства треугольников мы знаем, что при тупом угле гипотенуза треугольника всегда больше катета.
Таким образом, из треугольника \(ABK\) мы можем сказать, что \(AB < KB\). Подставим это неравенство в \((1)\):
\[
\angle KAB + x + AB < 180^\circ - \angle ABC \quad \text{(2)}
\]
Теперь, чтобы доказать, что \(KB > AB\), нам нужно показать, что левая часть неравенства \((2)\) больше правой части, то есть:
\[
\angle KAB + x + AB > 180^\circ - \angle ABC
\]
Мы знаем, что угол \(\angle KAB\) острый и меньше \(\angle KAB + x\) (так как \(x > 0\)), а также \(\angle ABC\) тупой. Поэтому правая часть неравенства будет меньше 180 градусов.
Таким образом, из \((2)\) мы можем сделать вывод, что:
\[
\angle KAB + x + AB > 180^\circ - \angle ABC
\]
Или, после замены углов:
\[
\angle KAB + x + AB > 180^\circ - (180^\circ - \angle CAB)
\]
Упростим это выражение:
\[
\angle KAB + x + AB > \angle CAB
\]
Мы уже знаем, что \(\angle KAB > \angle K\) и \(AB < KB\), поэтому:
\[
\angle KAB > \angle K \quad \text{и} \quad AB < KB
\]
Подставим это в предыдущее выражение:
\[
\angle KAB + x + AB > \angle CAB
\]
Таким образом, мы можем утверждать, что \(KB > AB\), что и требовалось доказать.
Иллюстрация:
A
/ \
/ \
/ \
B_________K