Какой объем цилиндра с диагональю осевого сечения равной 6 см, и углом между диагоналями в 120 градусов? С рисунком

Константин

49

Хорошо, рассмотрим данную задачу и предоставим подробное решение для лучшего понимания.

Для начала, нарисуем осевое сечение цилиндра. Давайте представим, что у нас есть цилиндр, и мы сделаем срез по его диагонали.

   ________________

  /               /

 /               /

/               /

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, нам необходимо знать его высоту и радиус основания.

Обратимся к данным задачи. У нас есть диагональ осевого сечения, равная 6 см. Если провести серединную перпендикулярную линию диагонали, мы получим равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и радиусом основания цилиндра.

Давайте обозначим радиус основания как \(r\) и найдем его. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

В данном случае, у нас есть сторона \(a\), равная 6 см, сторона \(b\), также равная 6 см, и угол \(\theta\), равный 120 градусов (угол между диагоналями).

Теорема косинусов позволяет нам найти третью сторону треугольника, которая в данном случае является радиусом основания \(r\):

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)\]

Подставляя известные значения, получим:

\[r^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)\]

Теперь найдем значение угла в радианах, так как многие программы и калькуляторы используют радианы:

\(\theta_{\text{рад}} = \frac{120 \cdot \pi}{180}\)

\(\cos(\theta_{\text{рад}}) = \cos\left(\frac{120 \cdot \pi}{180}\right)\)

Теперь можно продолжить вычисления:

\[r^2 = 36 + 36 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos\left(\frac{120 \cdot \pi}{180}\right)\]

Можно привести к общему знаменателю:

\[r^2 = 72 - 72 \cdot \cos\left(\frac{120 \cdot \pi}{180}\right)\]

Теперь можем вычислить это значение:

\[r^2 \approx 72 - 72 \cdot \cos(2.094)\]

\[r^2 \approx 72 - 72 \cdot (-0.5)\]

\[r^2 \approx 72 + 36\]

\[r^2 \approx 108\]

Теперь найдем радиус \(r\):

\[r \approx \sqrt{108}\]

\[r \approx 3 \sqrt{3}\]

Таким образом, радиус основания цилиндра равен \(3 \sqrt{3}\) см.

Далее, нам необходимо найти высоту цилиндра. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, примененной к треугольнику, образованному диагональю и высотой.

        /|

       / |

   r /   | h

    /    |

   /_____|

     d

В нашем случае у нас есть гипотенуза \(d\), равная 6 см, и одна из катетов \(r\), равный \(3 \sqrt{3}\) см. Найдем второй катет - высоту цилиндра \(h\):

\[h^2 = d^2 - r^2\]

\[h^2 = 6^2 - (3 \sqrt{3})^2\]

\[h^2 = 36 - 27\]

\[h^2 = 9\]

\[h = \sqrt{9}\]

\[h = 3\]

Таким образом, высота цилиндра равна 3 см.

Теперь, когда у нас есть радиус основания и высота цилиндра, мы можем найти его объем.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

\[V = \pi r^2 h\]

Подставляя значения, получим:

\[V = \pi \cdot (3 \sqrt{3})^2 \cdot 3\]

\[V = 9 \pi \cdot 3\]

\[V = 27 \pi\]

Таким образом, объем цилиндра с диагональю осевого сечения равной 6 см и углом между диагоналями в 120 градусов равен \(27 \pi\) кубических сантиметров.

Надеюсь, это решение понятно и поможет вам лучше понять эту задачу.