Какой объем и площадь полной поверхности усеченного конуса с радиусами оснований 2 и 6 см, при том, что образующая

Orel

4

Хорошо, в данной задаче нам нужно найти объем и площадь полной поверхности усеченного конуса. Давайте начнем с нахождения высоты \(h\) усеченного конуса. Для этого обратимся к геометрическим свойствам усеченного конуса.

Усеченный конус можно рассматривать как составленный из двух конусов с высотами \(h_1\) и \(h_2\) и радиусами оснований \(R_1\) и \(R_2\) соответственно.

Мы знаем, что высота каждого из этих конусов - это проекция образующей \(l\) на плоскость основания. Так как образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, то каждая проекция образующей на плоскость основания будет равна \(l \cdot \cos(45^\circ)\).

Таким образом, высоты \(h_1\) и \(h_2\) равны\(h_1 = l \cdot \cos(45^\circ)\) и \(h_2 = l \cdot \cos(45^\circ)\).

Чтобы найти высоту \(h\) усеченного конуса, мы можем сложить высоты его составляющих конусов:
\[h = h_1 + h_2 = l \cdot \cos(45^\circ) + l \cdot \cos(45^\circ)\]

Теперь, с учетом наших заданных значений, которые равны \(R_1 = 2\) см, \(R_2 = 6\) см и \(\theta = 45^\circ\), мы можем записать уравнение для площади полной поверхности усеченного конуса:

\[S = \pi(R_1^2 + R_2^2 + R_1 \cdot R_2) + \pi(R_1 + R_2) \cdot l\]

Теперь найдем объем усеченного конуса. Как мы знаем, объем \(V\) конуса можно найти по формуле:
\[V = \frac{1}{3}\pi(R_1^2 + R_2^2 + R_1 \cdot R_2) \cdot h\]

После подстановки наших значений в эти формулы, получим итоговые ответы.