В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону ВС в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите

Zolotaya_Pyl

53

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма и построим несколько дополнительных отрезков.

Первым шагом построим биссектрису угла А, которая пересекает сторону ВС в точке М. Затем построим перпендикуляры, опущенные из точек А и D на сторону ВС. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с стороной ВС как P и Q, соответственно. Получаем следующую диаграмму:

\[
\begin{array}{cccccccc}
& & A & & & D & & \\
& & \uparrow & & & \uparrow & & \\
& & | & & & | & & \\
& & | & & & | & & \\
& & | & & & | & & \\
& & | & & & | & & \\
& & M & & & Q & & P & \\
& & & & \downarrow & & \downarrow & \\
& & & & C & & B & \\
\end{array}
\]

Так как отрезки AM и DM перпендикулярны, то параллелограмм AMDP — прямоугольник.

Теперь, заметим, что сторона AM параллельна стороне BC. Так как AM является биссектрисой угла A, то AM делит угол A на два равных угла, а значит, четырехугольник AMCP также является параллелограммом.

Тогда получаем, что параллелограмм AMCP — это прямоугольник с противоположными сторонами, равными AM и CP.

Зная свойства прямоугольника, мы можем сказать, что сторона АМ равна длине стороны РС, то есть AM = CP.

Из данной информации исходя, обозначим длины сторон параллелограмма следующим образом:

AB = a, BC = b, CP = x.

Исходя из приведенных объяснений, мы можем найти длину стороны AM:

AM = CP = x.

Далее, обратимся к свойствам параллелограмма. В нем противоположные стороны равны, значит, AB = CD = a, а BC = AD = b.

Теперь мы можем найти периметр параллелограмма. Периметр равен сумме длин всех его сторон:

\[
\begin{align*}
P &= AB + BC + CD + AD \\
&= a + b + a + b \\
&= 2a + 2b \\
&= 2(a + b).
\end{align*}
\]

Таким образом, периметр параллелограмма равен \(2(a + b)\).

Ответ: периметр параллелограмма равен \(2(a + b)\).