Какой объем покупок является оптимальным для потребителя, у которого функция полезности u=2xy, где x и y - количество

Булька

1

Для решения данной задачи оптимизации потребуется использовать метод Лагранжа. Давайте начнем с выражения функции полезности в ограниченной форме с учетом бюджета:

\[U(x, y) = 2xy\]

Ограничение бюджета выглядит следующим образом:

\[20x + 5y = 50\]

Теперь воспользуемся методом Лагранжа, где будем максимизировать функцию полезности при условии ограничения бюджета. Для этого введем множитель Лагранжа \(λ\):

\[L(x, y, λ) = 2xy + λ(20x + 5y - 50)\]

Теперь найдем частные производные функции Лагранжа по переменным \(x, y\) и \(λ\):

\[\frac{{\partial L}}{{\partial x}} = 2y + 20λ = 0\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial y}} = 2x + 5λ = 0\]
\[\frac{{\partial L}}{{\partial λ}} = 20x + 5y - 50 = 0\]

Теперь решим полученную систему уравнений методом подстановки или методом Крамера для определения значений \(x, y\) и \(λ\). После нахождения значений переменных подставим их в исходное ограничение, чтобы убедиться, что оно выполняется.

Шаг 1: Найдем \(λ\) из первых двух уравнений:

\[2y + 20λ = 0 \Rightarrow λ = \frac{{-y}}{{10}}\]
\[2x + 5λ = 0 \Rightarrow x = \frac{{-5λ}}{{2}} = \frac{{5y}}{{4}}\]

Шаг 2: Подставим найденные значения \(x\) и \(λ\) в третье уравнение:

\[20x + 5y - 50 = 0\]
\[20 \cdot \frac{{5y}}{{4}} + 5y - 50 = 0\]
\[25y + 20y - 200 = 0\]
\[45y = 200\]
\[y = \frac{{200}}{{45}}\]

Шаг 3: Подставим найденное значение \(y\) в уравнения для определения \(x\) и \(λ\):

\[x = \frac{{5y}}{{4}} = \frac{{5 \cdot \frac{{200}}{{45}}}}{{4}}\]
\[λ = \frac{{-y}}{{10}} = \frac{{-\frac{{200}}{{45}}}}{{10}}\]

После всех вычислений, мы получаем оптимальное значение примерно для \(x \approx 2.22\), \(y \approx 8.89\) и \(λ \approx -0.44\).

Таким образом, оптимальный объем покупок для потребителя с заданными условиями составляет примерно 2.22 единицы товара x и 8.89 единиц товара y.