Какой объем случайной выборки n необходим, чтобы партии, содержащие более 5% брака, были отвергнуты с вероятностью

Romanovna

13

Чтобы определить необходимый объем случайной выборки \( n \), чтобы партии, содержащие более 5% брака, были отвергнуты с вероятностью \( P = 0.9 \), нам нужно использовать формулу для нахождения размера выборки для доверительного интервала.

Доверительный интервал состоит из двух частей: уровень значимости (вероятность ошибки первого рода) и мощность теста (вероятность обнаружения).

Уровень значимости (вероятность ошибки первого рода) определяет вероятность отклонения гипотезы, когда она на самом деле верна (т.е. отвергнуть нормальную партию, когда она действительно нормальная). В данном случае, уровень значимости будет равен 0.05, так как более 5% браку считается ненормальным.

Мощность теста (вероятность обнаружения) является вероятностью обнаружения ненормальной партии и отбрасывания ее (т.е. отклонение партии с браком верно). В данном случае, мощность теста будет равна 0.9.

Таким образом, нам нужно найти необходимый объем выборки \( n \) для заданных уровня значимости и мощности теста.

Чтобы найти необходимый объем выборки, мы можем использовать статистическую формулу, которая связывает уровень значимости, мощность теста и размер выборки. Формула выглядит следующим образом:

\[ n = \frac{{(Z_{1-\alpha} + Z_{\beta})^2 \cdot p \cdot (1-p)}}{{E^2}} \]

Где:
\( Z_{1-\alpha} \) - обратное значение нормального распределения для указанного уровня значимости \(\alpha\) (0.05),
\( Z_{\beta} \) - обратное значение нормального распределения для указанной мощности теста \(\beta\) (0.9),
\( p \) - ожидаемая доля брака (в данном случае, 0.05),
\( E \) - допустимая ошибка (максимальное расстояние от оценки доли брака до истинного значения, в данном случае, мы можем выбрать значение, например, 0.02).

Теперь давайте рассчитаем необходимый объем выборки \( n \) для заданных параметров:

\[ n = \frac{{(Z_{1-\alpha} + Z_{\beta})^2 \cdot p \cdot (1-p)}}{{E^2}} \]
\[ n = \frac{{(1.645 + 1.282)^2 \cdot 0.05 \cdot (1-0.05)}}{{0.02^2}} \]

После вычислений получаем:

\[ n = \frac{{2.927^2 \cdot 0.05 \cdot 0.95}}{{0.0004}} \]
\[ n \approx 1698.76 \]

Итак, необходимый объем выборки, чтобы партии, содержащие более 5% брака, были отвергнуты с вероятностью \( P = 0.9 \), составляет примерно 1699. Мы можем округлить это число до 1700 для удобства использования.

Помните, что это приблизительное значение, и фактический объем выборки может быть уточнен в зависимости от конкретной ситуации и ограничений.