Какой периметр треугольника KMN, если треугольник вписан в окружность и известны длины его сторон: КМ равно 24

Zagadochnaya_Luna

32

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства вписанных треугольников и окружностей.

Первое свойство, которое мы можем использовать - это то, что угол, образованный двумя хордами в окружности, равен половине суммы дуг, соответствующих этим хордам. В данной задаче, стороны треугольника KMN являются хордами окружности, поэтому мы можем использовать это свойство для нахождения углов треугольника.

Так как точка О является серединой окружности, и треугольник KMN вписан в эту окружность, то отрезок ОМ будет являться радиусом этой окружности. Другими словами, радиус равен половине диаметра (по определению середины окружности).

Для начала, найдем длину стороны KM. У нас уже известно, что KM равно 24.

Затем найдем длину стороны MN. У нас уже известно, что MN равно 13.

Так как точка О является серединой окружности, и треугольник KMN вписан в эту окружность, то радиус ОМ будет равен половине диаметра окружности.

Общая формула для нахождения периметра треугольника состоит из сложения длин всех трех его сторон. Давайте применим эту формулу для треугольника KMN.

Периметр треугольника KMN равен сумме длин сторон KM, MN и NK.

\[Периметр = KM + MN + NK\]

Заметим, что сторона NK равна стороне KM, так как треугольник вписан в окружность, и это свойство вписанных треугольников.

Теперь, для нахождения длины стороны NK, можно воспользоваться свойством углов треугольника, образованных в окружности. Угол KON будет равен половине дуги, соответствующей хорде KM. Так как стороны KM и NK равны, угол KON будет также равен углу KMN.

Таким образом, у нас есть два одинаковых угла (KMN и KON) и отрезок MN, который является их общим катетом. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны NK.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В нашем случае, гипотенузой является сторона KM (длиной 24), а одним из катетов является сторона MN (длиной 13). Пусть сторона NK будет другим катетом.

Тогда, применяя теорему Пифагора:

\[NK^2 = KM^2 - MN^2\]
\[NK^2 = 24^2 - 13^2\]
\[NK^2 = 576 - 169\]
\[NK^2 = 407\]
\[NK = \sqrt{407}\]

Теперь у нас есть значения всех сторон треугольника: KM = 24, MN = 13, NK = \(\sqrt{407}\).

Мы можем получить периметр треугольника KMN, сложив длины всех его сторон:

\[Периметр = KM + MN + NK\]
\[Периметр = 24 + 13 + \sqrt{407}\]

Таким образом, периметр треугольника KMN равен \(24 + 13 + \sqrt{407}\). Это окончательный ответ на задачу.