Какой процент атомов изотопа селена-75 распадется за 420 суток, если его полураспадный период составляет 120 суток?

Черная_Магия

39

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу экспоненциального распада:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

где:
- \(N\) - количество оставшихся атомов изотопа,
- \(N_0\) - количество начальных атомов изотопа,
- \(t\) - прошедшее время,
- \(T\) - полураспадный период.

Нам дано, что полураспадный период изотопа селена-75 составляет 120 суток, и мы хотим найти процент атомов, которые распадутся за 420 суток. Для этого нам нужно найти \(N\) и выразить его в процентах от \(N_0\).

1. Подставим значения в формулу:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{420}{120}}\]

2. Упростим:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{7}{2}}\]

3. Возведем \(\frac{1}{2}\) в степень \(\frac{7}{2}\). Чтобы упростить вычисление, разложим показатель степени на две части:

\(\frac{7}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2}\)

4. Возводим \(\frac{1}{2}\) в каждую часть степени по отдельности:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\]

5. Вычисляем:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}\]

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}\]

6. Итак, получаем:

\[N = N_0 \cdot \frac{1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\]

7. Для выражения \(N\) в процентах от \(N_0\) умножим на 100:

\[N_{\text{проценты}} = N \cdot 100 = N_0 \cdot \frac{1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot 100\]

Получаем итоговый ответ.