Какой путь будет пройден телом за 10 секунд, если оно движется в плоскости XOY по закону x=0,1cost; y=1–0,1sint?

Tainstvennyy_Rycar_691

17

Для начала, давайте разберемся с первой частью задачи. Нам даны уравнения движения тела в плоскости XOY:

\[x = 0.1 \cos(\omega t)\]
\[y = 1 - 0.1 \sin(\omega t)\]

Здесь \(x\) и \(y\) представляют координаты тела в плоскости XOY в зависимости от времени \(t\), а \(\omega\) - некоторая постоянная величина.

Мы хотим найти путь, пройденный телом за 10 секунд. Для этого мы можем использовать определение пути, которое выражается через определенный интеграл:

\[S = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt\]

Теперь давайте найдем производные от уравнений движения по времени:

\[\frac{dx}{dt} = -0.1\omega \sin(\omega t)\]
\[\frac{dy}{dt} = -0.1\omega \cos(\omega t)\]

Подставим эти значения в интеграл для пути и проинтегрируем:

\[S = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(-0.1\omega \sin(\omega t)\right)^2 + \left(-0.1\omega \cos(\omega t)\right)^2} dt\]

\[S = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{0.01\omega^2\left(\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\right)} dt\]

\[S = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{0.01\omega^2} dt\]

\[S = \sqrt{0.01\omega^2} \int_{t_1}^{t_2} dt\]

\[S = 0.1\omega(t_2 - t_1)\]

Таким образом, путь, пройденный телом за 10 секунд, равен \(0.1\omega\cdot(10 - t_1)\).

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти угол, образуемый между векторами скорости \(V\) и ускорения \(a\). Для этого мы можем воспользоваться определением скалярного произведения векторов:

\[\cos(\theta) = \frac{V \cdot a}{|V| \cdot |a|}\]

где \(V \cdot a\) - скалярное произведение векторов, \(|V|\) и \(|a|\) - длины векторов \(V\) и \(a\) соответственно.

Для начала, найдем вектор скорости \(V\) и вектор ускорения \(a\) путем нахождения их производных от уравнений движения:

\[\mathbf{V} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(x\mathbf{i} + y\mathbf{j})\]
\[\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{V}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}\]

Выполним дифференцирование:

\[\mathbf{V} = \frac{d}{dt}(0.1\cos(\omega t)\mathbf{i} + (1 - 0.1\sin(\omega t))\mathbf{j})\]
\[\mathbf{a} = \frac{d^2}{dt^2}(0.1\cos(\omega t)\mathbf{i} + (1 - 0.1\sin(\omega t))\mathbf{j})\]

\[\mathbf{V} = (-0.1\omega\sin(\omega t)\mathbf{i} - 0.1\omega\cos(\omega t)\mathbf{j})\]
\[\mathbf{a} = (-0.1\omega^2\cos(\omega t)\mathbf{i} + 0.1\omega^2\sin(\omega t)\mathbf{j})\]

Теперь можем найти скалярное произведение векторов:

\(V \cdot a = (-0.1\omega\sin(\omega t)\mathbf{i} - 0.1\omega\cos(\omega t)\mathbf{j}) \cdot (-0.1\omega^2\cos(\omega t)\mathbf{i} + 0.1\omega^2\sin(\omega t)\mathbf{j})\)

\(V \cdot a = 0.01\omega^3(\sin(\omega t)\cos(\omega t) - \sin(\omega t)\cos(\omega t))\)

Таким образом, \(V \cdot a = 0\), что означает, что угол \(\theta\) между векторами \(V\) и \(a\) равен 90 градусов. Они образуют прямой угол.

Теперь переходим к третьей части задачи, где нужно найти уравнение, описывающее траекторию движения тела в зависимости от времени. Мы уже имеем уравнения движения тела:

\[x = 0.1 \cos(\omega t)\]
\[y = 1 - 0.1 \sin(\omega t)\]

Их можно переписать в виде уравнения траектории:

\[y = 1 - 10x\]

Таким образом, уравнение, описывающее траекторию движения тела, есть \(y = 1 - 10x\).

Надеюсь, этот ответ был подробным и понятным.